Chapitre 1
Méthodes Level Set et interfaces
lagrangiennes
Dans tout ce chapitre on s’intéresse au suivi, dans un fluide donné, d’interfaces : courbes dans R 2 ou surfaces dans R 3 . On suppose donc connu un
champ de vitesse u de classe C 1 . Pour simplifier l’exposé dans ce chapitre on
supposera, sauf mention contraire, ce champ défini dans un domaine borné
régulier Ω et nul sur le bord ∂Ω, de sorte que Ω est invariant sous l’action
du champ de vitesse u. Plus précisément, on fera l’hypothèse suivante :
(H)
u ∈ C
1
(Ω × [0,T ]) et u = 0 sur ∂Ω × [0,T ],
où [0,T ] est un intervalle de temps fixé.
Dans toute la suite de ce livre on notera les dérivées partielles
des fonctions de plusieurs variables par un indice de la variable
correspondante au pied de l’opérateur ∂, comme dans ∂ t .
Pour ξ ∈ Ω et s ∈]0,T ], on note τ → X(τ ; ξ, s) la solution du système
différentiel ∂ τ X = ∂X/∂τ = u(X, τ ) muni de la condition initiale X(s) = ξ.
Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguité sur le temps initial, on notera plus simplement
X(τ, ξ). Pour une revue approfondie de cette notion de trajectoire, on renvoie
au chapitre suivant.
1.1 Capture ou suivi d’interfaces
Un moyen naturel de suivre une interface est d’en écrire une paramétrisation
qui suit la vitesse u. Une interface lagrangienne, définie au temps t, Γ t peut
être décrite par une paramétrisation
θ → γ(t, θ)
avec
1
The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2021
G.-H. Cottet et al., Méthodes Level Set pour l’interaction fluide-structure,
Mathématiques et Applications 86, https://doi.org/10.1007/978-3-030-70075-1_1
Méthodes Level Set et interfaces
lagrangiennes
Dans tout ce chapitre on s’intéresse au suivi, dans un fluide donné, d’interfaces : courbes dans R 2 ou surfaces dans R 3 . On suppose donc connu un
champ de vitesse u de classe C 1 . Pour simplifier l’exposé dans ce chapitre on
supposera, sauf mention contraire, ce champ défini dans un domaine borné
régulier Ω et nul sur le bord ∂Ω, de sorte que Ω est invariant sous l’action
du champ de vitesse u. Plus précisément, on fera l’hypothèse suivante :
(H)
u ∈ C
1
(Ω × [0,T ]) et u = 0 sur ∂Ω × [0,T ],
où [0,T ] est un intervalle de temps fixé.
Dans toute la suite de ce livre on notera les dérivées partielles
des fonctions de plusieurs variables par un indice de la variable
correspondante au pied de l’opérateur ∂, comme dans ∂ t .
Pour ξ ∈ Ω et s ∈]0,T ], on note τ → X(τ ; ξ, s) la solution du système
différentiel ∂ τ X = ∂X/∂τ = u(X, τ ) muni de la condition initiale X(s) = ξ.
Lorsqu’il n’y a pas d’ambiguité sur le temps initial, on notera plus simplement
X(τ, ξ). Pour une revue approfondie de cette notion de trajectoire, on renvoie
au chapitre suivant.
1.1 Capture ou suivi d’interfaces
Un moyen naturel de suivre une interface est d’en écrire une paramétrisation
qui suit la vitesse u. Une interface lagrangienne, définie au temps t, Γ t peut
être décrite par une paramétrisation
θ → γ(t, θ)
avec
1
The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2021
G.-H. Cottet et al., Méthodes Level Set pour l’interaction fluide-structure,
Mathématiques et Applications 86, https://doi.org/10.1007/978-3-030-70075-1_1