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1 Méthodes Level Set et interfaces lagrangiennes
∂ t γ = u(γ, t)
En dimension 2, θ est un nombre réel et en dimension 3, θ = (θ 1 ,θ 2 ) est un
vecteur de R 2 . Les quantités géométriques de ces interfaces sont notamment,
en 2D la tangente t et la normale n :
t =
∂ θ γ
|∂ θ γ|
,
n= t
⊥
(1.1)
et, en 3D, le vecteur normal
n =
∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|
et le plan tangent défini par l’orthogonal de cette direction. Ces directions
correspondent bien sûr à une orientation de l’interface selon θ en 2D - ou θ 1
et θ 2 en 3D - croissants.
Cette paramétrisation donne aussi accès à l’étirement de l’interface au
cours de son déplacement. En 2D l’étirement relatif à la position initiale de la
courbe en un point de la courbe de paramètre θ, est donné par
S(t, θ) =
|∂ θ γ(t, θ)|
|∂ θ γ(0,θ)|
En 3D l’étirement surfacique lié à la variation d’aire est donné par
S(t, θ) =
|∂ θ 1 γ(t, θ) × ∂ θ 2 γ(t, θ)|
|∂ θ 1 γ(0,θ) × ∂ θ 2 γ(0,θ)|
Ces quantités sont celles qui interviennent dans les intégrales curvilignes ou
de surface utilisant la paramétrisation γ(t, θ).
D’un point de vue numérique, le suivi de ces interfaces passe par l’utilisation
d’un nombre fini de marqueurs de points matériels ξ = γ(0,θ) qui correspondent
à des valeurs discrètes de θ. Ceux-ci sont déplacés par le champ de vitesse à
l’instant t en X(t, ξ) = γ(t, θ). La reconstitution d’interfaces régulières à partir
de ces marqueurs peut se faire par divers types d’interpolation. Les propriétés
géométriques des interfaces peuvent être calculées soit par discrétisation sur
les marqueurs des formules ci-dessus, comme illustré sur la figure 1.1, soit en
utilisant ces interpolations.