1.1 Capture ou suivi d’interfaces
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γ(0, θ)
γ(0, θ + dθ)
u
γ(t, θ)
u
γ(t, θ + dθ)
|∂ θ γ(0, θ)|
|∂ θ γ(t, θ)|
Γ 0
Γt
Fig. 1.1: Transport et étirement d’une courbe lagrangienne
Une alternative au suivi lagrangien des interfaces consiste à considérer ces
interfaces comme des lignes niveau d’une fonction, que par abus de langage
nous appellerons fonction Level Set. La justification de cette description
implicite des interfaces lagrangiennes est donnée par le résultat suivant
Proposition 1.1. Soit ϕ 0 une fonction continue définie sur Ω et Γ 0 =
{x ∈ Ω, ϕ 0 (x) = 0}. Alors si ϕ est solution de l’équation de transport
∂ t ϕ + u · ∇ϕ = 0 sur Ω×]0,T ],
ϕ = ϕ 0
sur Ω × {0}
(1.2)
on a
∂ t (ϕ(X (t; ξ, s),t) = 0 pour tout ξ ∈ Ω et s ∈ [0,T ].
(1.3)
Γ t = X(t; Γ 0 , 0) = {x ∈ Ω , ϕ(x, t) = 0} pour tout t ∈ [0,T ].
(1.4)
Preuve. L’équation (1.3) découle directement, par dérivation de fonctions
composées, de (1.2) et de la définition des caractéristiques. L’équation (1.4)
en résulte en prenant s = 0 et ξ ∈ Γ 0 .
Les méthodes basées sur une description des interfaces lagrangiennes par
des fonctions Level Set sont dites des méthodes de capture d’interface, par
opposition aux méthodes de suivi d’interface décrites précédemment.