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1 Méthodes Level Set et interfaces lagrangiennes
1.2 Méthodes Level Set et géométrie des surfaces
On développe dans cette section comment les notions de géométrie des
courbes et surfaces peuvent être exprimées a partir de fonctions implicites.
On montre notamment, en partant de leur définition paramétrique, comment
la courbure moyenne et de Gauss s’expriment à l’aide de fonctions Level Set.
Commençons par préciser les notions et résultats classiques de régularité des
surfaces implicites.
Définition 1.2. On dit qu’une hypersurface S ⊂ R d est de classe C k si tout
point de S a un voisinage U tel que la portion S ∩ U peut être représentée
par une équation x i = f (x 1 ,...,x i−1 ,x i+1 ,...,x d ), où f est de classe C k .
La proposition suivante donne la régularité de la ligne de niveau 0 d’une
fonction :
Proposition 1.3. Etant donné Ω un ouvert de R d , soit ϕ : Ω → R,
continue sur Ω, et de classe C k sur un ouvert U ⊂ Ω. On suppose que
|∇ϕ|(x) > 0 pour tout x ∈ U , et que S = {x ∈ Ω, ϕ(x) = 0} est non vide
et inclus dans U . Alors S est de classe C k .
Preuve. On renvoie à la démonstration donnée dans [74], page 355.
Proposition 1.4. Soit S ⊂ R d une hypersurface fermée de classe C k ,
k ≥ 2, et d la distance signée (négative à l’intérieur, par exemple) à S.
Alors il existe un voisinage U de S tel que d est dans C k (U ), vérifie
|∇d| = 1 sur U , et le projeté de x ∈ U sur S est P S (x) = x − d(x)∇d(x).
On a donc pour tout x ∈ U, d(x − d(x)∇d(x)) = 0.
Pour ce type de résultat on pourra consulter les publications de Delfour et
Zolésio ([47] et références citées) sur la géométrie intrinsèque des surfaces.
Intuitivement, la fonction distance à une hypersurface, dans un voisinage de
celle-ci, a son gradient en un point dirigé vers son projeté P S (x) sur S. En se
déplaçant dans la direction opposée à ce gradient, par définition de la distance,
celle-ci diminue en égale quantité du déplacement, ce qui signifie exactement
que sa pente est 1. Elle finit par s’annuler en arrivant sur le projeté qui vaut
donc P S (x) = x − d(x)∇d(x), d’où la dernière formule.
Dans toute la suite de ce livre on supposera qu’une fonction
Level Set est régulière et de gradient non nul dans un voisinage de
sa ligne de niveau 0.
Intéressons nous maintenant au cas particulier d’une surface régulière
S ⊂ R 3 . Soit (θ 1 ,θ 2 ) → γ(θ 1 ,θ 2 ) ∈ R 3 une paramétrisation régulière de S. Les
1 Méthodes Level Set et interfaces lagrangiennes
1.2 Méthodes Level Set et géométrie des surfaces
On développe dans cette section comment les notions de géométrie des
courbes et surfaces peuvent être exprimées a partir de fonctions implicites.
On montre notamment, en partant de leur définition paramétrique, comment
la courbure moyenne et de Gauss s’expriment à l’aide de fonctions Level Set.
Commençons par préciser les notions et résultats classiques de régularité des
surfaces implicites.
Définition 1.2. On dit qu’une hypersurface S ⊂ R d est de classe C k si tout
point de S a un voisinage U tel que la portion S ∩ U peut être représentée
par une équation x i = f (x 1 ,...,x i−1 ,x i+1 ,...,x d ), où f est de classe C k .
La proposition suivante donne la régularité de la ligne de niveau 0 d’une
fonction :
Proposition 1.3. Etant donné Ω un ouvert de R d , soit ϕ : Ω → R,
continue sur Ω, et de classe C k sur un ouvert U ⊂ Ω. On suppose que
|∇ϕ|(x) > 0 pour tout x ∈ U , et que S = {x ∈ Ω, ϕ(x) = 0} est non vide
et inclus dans U . Alors S est de classe C k .
Preuve. On renvoie à la démonstration donnée dans [74], page 355.
Proposition 1.4. Soit S ⊂ R d une hypersurface fermée de classe C k ,
k ≥ 2, et d la distance signée (négative à l’intérieur, par exemple) à S.
Alors il existe un voisinage U de S tel que d est dans C k (U ), vérifie
|∇d| = 1 sur U , et le projeté de x ∈ U sur S est P S (x) = x − d(x)∇d(x).
On a donc pour tout x ∈ U, d(x − d(x)∇d(x)) = 0.
Pour ce type de résultat on pourra consulter les publications de Delfour et
Zolésio ([47] et références citées) sur la géométrie intrinsèque des surfaces.
Intuitivement, la fonction distance à une hypersurface, dans un voisinage de
celle-ci, a son gradient en un point dirigé vers son projeté P S (x) sur S. En se
déplaçant dans la direction opposée à ce gradient, par définition de la distance,
celle-ci diminue en égale quantité du déplacement, ce qui signifie exactement
que sa pente est 1. Elle finit par s’annuler en arrivant sur le projeté qui vaut
donc P S (x) = x − d(x)∇d(x), d’où la dernière formule.
Dans toute la suite de ce livre on supposera qu’une fonction
Level Set est régulière et de gradient non nul dans un voisinage de
sa ligne de niveau 0.
Intéressons nous maintenant au cas particulier d’une surface régulière
S ⊂ R 3 . Soit (θ 1 ,θ 2 ) → γ(θ 1 ,θ 2 ) ∈ R 3 une paramétrisation régulière de S. Les