1.2 Méthodes Level Set et géométrie des surfaces
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vecteurs ∂ θ 1 γ et ∂ θ 2 γ définissent une base du plan tangent à la surface. On
introduit la première forme fondamentale de terme général
g ij = ∂ θ i γ · ∂ θ j γ.
(1.5)
Cette forme, appelée aussi métrique, permet de calculer des longueurs, angles
et aires sur la surface. On introduit également la deuxième forme fondamentale
de terme général
h ij = ∂
2
θ i θ j
γ · n
(1.6)
où
n =
∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|
est la normale à la surface (orthogonale au plan tangent). Ces deux formes
fondamentales sont des matrices 2 × 2 symétriques. La courbure d’une surface
est intuitivement liée à la variation de la normale dans le plan tangent et
on peut montrer que la matrice de l’application linéaire associée notée dn
s’exprime à l’aide des deux formes fondamentales sous la forme
dn = [h ij ][g ij ]
−1 .
(1.7)
Les valeurs propres de cette matrice sont nommées les courbures principales
et on a la définition suivante :
Définition 1.5. On définit la courbure moyenne H et la courbure de Gauss
G par les formules
H = Tr(dn)
,
G= det(dn).
La vérification que cette définition ne dépend pas de la parametrisation choisie
est laissée au lecteur.
Considérons maintenant une représentation implicite de cette même surface
S ⊂ R 3 . On considère une fonction ϕ : R 3 → R régulière et S = {x ∈ R 3 , ϕ(x) =
0}. Dans l’approche paramétrique, on a accès à la manière dont les points de
la surface sont connectés les uns aux autres via la paramétrisation et on a donc
une notion de métrique. Il n’y a pas de notion similaire dans l’approche par
fonctions implicites car deux points appartenant à la surface sont caractérisés
par le fait que la fonction ϕ s’annule mais on a pas d’information sur leur
proximité. Cependant nous verrons que lorsque l’on suit une surface au cours du
temps il est possible de calculer ses déformations avec des fonctions implicites.
Cette propriété est le point clé de la formulation eulérienne de l’élasticité et
sera largement développé dans le chapitre 3. Regardons maintenant quelles
quantités géométriques on peut calculer à l’aide d’une représentation implicite
de la surface.
Remarquons que le vecteur ∇ϕ est orthogonal aux lignes de niveaux de ϕ
donc on définit la normale par
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vecteurs ∂ θ 1 γ et ∂ θ 2 γ définissent une base du plan tangent à la surface. On
introduit la première forme fondamentale de terme général
g ij = ∂ θ i γ · ∂ θ j γ.
(1.5)
Cette forme, appelée aussi métrique, permet de calculer des longueurs, angles
et aires sur la surface. On introduit également la deuxième forme fondamentale
de terme général
h ij = ∂
2
θ i θ j
γ · n
(1.6)
où
n =
∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|
est la normale à la surface (orthogonale au plan tangent). Ces deux formes
fondamentales sont des matrices 2 × 2 symétriques. La courbure d’une surface
est intuitivement liée à la variation de la normale dans le plan tangent et
on peut montrer que la matrice de l’application linéaire associée notée dn
s’exprime à l’aide des deux formes fondamentales sous la forme
dn = [h ij ][g ij ]
−1 .
(1.7)
Les valeurs propres de cette matrice sont nommées les courbures principales
et on a la définition suivante :
Définition 1.5. On définit la courbure moyenne H et la courbure de Gauss
G par les formules
H = Tr(dn)
,
G= det(dn).
La vérification que cette définition ne dépend pas de la parametrisation choisie
est laissée au lecteur.
Considérons maintenant une représentation implicite de cette même surface
S ⊂ R 3 . On considère une fonction ϕ : R 3 → R régulière et S = {x ∈ R 3 , ϕ(x) =
0}. Dans l’approche paramétrique, on a accès à la manière dont les points de
la surface sont connectés les uns aux autres via la paramétrisation et on a donc
une notion de métrique. Il n’y a pas de notion similaire dans l’approche par
fonctions implicites car deux points appartenant à la surface sont caractérisés
par le fait que la fonction ϕ s’annule mais on a pas d’information sur leur
proximité. Cependant nous verrons que lorsque l’on suit une surface au cours du
temps il est possible de calculer ses déformations avec des fonctions implicites.
Cette propriété est le point clé de la formulation eulérienne de l’élasticité et
sera largement développé dans le chapitre 3. Regardons maintenant quelles
quantités géométriques on peut calculer à l’aide d’une représentation implicite
de la surface.
Remarquons que le vecteur ∇ϕ est orthogonal aux lignes de niveaux de ϕ
donc on définit la normale par