6
1 Méthodes Level Set et interfaces lagrangiennes
n(x) =
∇ϕ
|∇ϕ|
.
La courbure étant définie par la variation de la normale sur la surface, il
semble naturel que l’on puisse calculer cette quantité à l’aide des dérivées
secondes de la fonction Level Set. Cette affirmation est précisée et démontrée
dans la proposition suivante :
Proposition 1.6. Soit S une surface de R 3 représentée par la ligne de
niveau 0 d’une fonction Level Set ϕ. Les courbures moyenne et de Gauss
sont données par les formules
H(x) = Tr(∇ Γ n),
G(x) = Tr(Cof(∇ Γ n)),
où ∇ Γ n = [∇n][I − n ⊗ n] avec n =
∇ϕ
|∇ϕ| .
Preuve. Notons que ∇ Γ n(x) est une matrice 3×3 définie pour x ∈ R 3 avec une
valeur propre nulle associée au vecteur propre n et dn est une matrice 2 × 2. En
dérivant l’égalité ϕ(γ(θ 1 ,θ 2 )) = 0 par rapport à θ i on obtient ∇ϕ(γ(θ)) · ∂ θ i γ =
0. En dérivant cette égalité après avoir divisé par |∇ϕ|, on obtient
∇ϕ
|∇ϕ|
(γ(θ)) · ∂
2
θ j θ i
γ +
∇
∇ϕ
|∇ϕ|
(γ(θ)) ∂ θ j γ
· ∂ θ i γ = 0.
On a donc, d’après la définition (1.6), h ij = −
[∇n](γ(θ)) ∂ θ j γ
· ∂ θ i γ. Calculons maintenant l’inverse de la première forme fondamentale (1.5)
[g ij ]
−1
=
1
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ| 2
|∂ θ 2 γ| 2 −∂ θ 1 γ · ∂ θ 2 γ
−∂ θ 1 γ · ∂ θ 2 γ |∂ θ 1 γ| 2
.
Après avoir introduit τ i =
∂ θ i γ
|∂ θ i γ| les vecteurs tangents unitaires associés à la
paramétrisation, on obtient en prenant la trace de (1.7)
Tr(dn) =
([∇n]τ 1 ) · τ 1 + ([∇n]τ 2 ) · τ 2 − (τ 1 · τ 2 )(([∇n]τ 1 ) · τ 2 + ([∇n]τ 2 ) · τ 1 )
|τ 1 × τ 2 | 2
.
En considérant le vecteur ˜
τ 2 =
τ 2 −(τ 1 ·τ 2 )τ 1
|τ 1 ×τ 2 |
qui vérifie τ 1 · ˜
τ 2 = 0 et | ˜
τ 2 | = 1 on
obtient
Tr(dn) = [∇n](γ(θ)) : (τ 1 ⊗ τ 1 + ˜
τ 2 ⊗ ˜
τ 2 ) = Tr(∇ Γ n),
car (τ 1 , ˜
τ 2 ,n) est une base orthonormale de R 3 , et donc τ 1 ⊗ τ 1 + ˜
τ 2 ⊗ ˜
τ 2 =
I − n ⊗ n. Passons maintenant au cas de la courbure de Gauss. On obtient en
prenant le determinant de (1.7) que
1 Méthodes Level Set et interfaces lagrangiennes
n(x) =
∇ϕ
|∇ϕ|
.
La courbure étant définie par la variation de la normale sur la surface, il
semble naturel que l’on puisse calculer cette quantité à l’aide des dérivées
secondes de la fonction Level Set. Cette affirmation est précisée et démontrée
dans la proposition suivante :
Proposition 1.6. Soit S une surface de R 3 représentée par la ligne de
niveau 0 d’une fonction Level Set ϕ. Les courbures moyenne et de Gauss
sont données par les formules
H(x) = Tr(∇ Γ n),
G(x) = Tr(Cof(∇ Γ n)),
où ∇ Γ n = [∇n][I − n ⊗ n] avec n =
∇ϕ
|∇ϕ| .
Preuve. Notons que ∇ Γ n(x) est une matrice 3×3 définie pour x ∈ R 3 avec une
valeur propre nulle associée au vecteur propre n et dn est une matrice 2 × 2. En
dérivant l’égalité ϕ(γ(θ 1 ,θ 2 )) = 0 par rapport à θ i on obtient ∇ϕ(γ(θ)) · ∂ θ i γ =
0. En dérivant cette égalité après avoir divisé par |∇ϕ|, on obtient
∇ϕ
|∇ϕ|
(γ(θ)) · ∂
2
θ j θ i
γ +
∇
∇ϕ
|∇ϕ|
(γ(θ)) ∂ θ j γ
· ∂ θ i γ = 0.
On a donc, d’après la définition (1.6), h ij = −
[∇n](γ(θ)) ∂ θ j γ
· ∂ θ i γ. Calculons maintenant l’inverse de la première forme fondamentale (1.5)
[g ij ]
−1
=
1
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ| 2
|∂ θ 2 γ| 2 −∂ θ 1 γ · ∂ θ 2 γ
−∂ θ 1 γ · ∂ θ 2 γ |∂ θ 1 γ| 2
.
Après avoir introduit τ i =
∂ θ i γ
|∂ θ i γ| les vecteurs tangents unitaires associés à la
paramétrisation, on obtient en prenant la trace de (1.7)
Tr(dn) =
([∇n]τ 1 ) · τ 1 + ([∇n]τ 2 ) · τ 2 − (τ 1 · τ 2 )(([∇n]τ 1 ) · τ 2 + ([∇n]τ 2 ) · τ 1 )
|τ 1 × τ 2 | 2
.
En considérant le vecteur ˜
τ 2 =
τ 2 −(τ 1 ·τ 2 )τ 1
|τ 1 ×τ 2 |
qui vérifie τ 1 · ˜
τ 2 = 0 et | ˜
τ 2 | = 1 on
obtient
Tr(dn) = [∇n](γ(θ)) : (τ 1 ⊗ τ 1 + ˜
τ 2 ⊗ ˜
τ 2 ) = Tr(∇ Γ n),
car (τ 1 , ˜
τ 2 ,n) est une base orthonormale de R 3 , et donc τ 1 ⊗ τ 1 + ˜
τ 2 ⊗ ˜
τ 2 =
I − n ⊗ n. Passons maintenant au cas de la courbure de Gauss. On obtient en
prenant le determinant de (1.7) que