1.3 Méthodes Level Set et géométrie des courbes de R
3
7
det(dn) =
([∇n]τ 1 ) · τ 1 ([∇n]τ 2 ) · τ 2 − ([∇n]τ 1 ) · τ 2 ([∇n]τ 2 ) · τ 1
|τ 1 × τ 2 | 2
.
D’autre part
2Tr(Cof(∇ Γ n)) = Tr(∇n(τ 1 ⊗ τ 1 + ˜
τ 2 ⊗ ˜
τ 2 ))
2
− Tr(∇n(τ 1 ⊗ τ 1 + ˜
τ 2 ⊗ ˜
τ 2 )∇n(τ 1 ⊗ τ 1 + ˜
τ 2 ⊗ ˜
τ 2 )). (1.8)
Il reste à utiliser la propriété Tr(A(b ⊗ b)A(c ⊗ c)) = (Ab) · c (Ac) · b pour
obtenir après calculs élémentaires le résultat souhaité.
La proposition suivante permet de simplifier les formules précédentes
Proposition 1.7. Soit S une surface représentée par la ligne de niveau
0 d’une fonction Level Set ϕ. On a
H(x) = Tr(∇n) = div
∇ϕ
|∇ϕ|
,
(1.9)
G(x) = Tr(Cof(∇n)) =
1
2
(Tr(∇n)
2
− Tr([∇n]
2
)).
(1.10)
Preuve. En dérivant la relation n · n = 1 on obtient la relation [∇n] T n = 0
qui implique ([∇n]n) · n = 0. Cette propriété permet de faire apparaître les
invariants de ∇n et permet de conclure.
Dans la section 7.1 de l’annexe on présente quelques calculs explicites de la
courbure dans le cas d’un ellipsoide et d’un tore. Dans le cas de courbes en
dimension 2, le résultat reste valable et la courbure de la courbe est donnée
par div
∇ϕ
|∇ϕ|
. Il suffit de reprendre la démonstration précédente : dans ce
cas les formes fondamentales sont des scalaires et en utilisant (1.1) on retrouve
la formule classique de la courbure 2D
dn = ∂
2
θθ γ · n (|∂ θ γ|
2
)
−1
=
∂ 2
θθ γ · (∂ θ γ) ⊥
|∂ θ γ| 3
.
1.3 Méthodes Level Set et géométrie des courbes de R 3
Considérons une courbe paramétré Γ ⊂ R 3 . Soit θ → γ(θ) ∈ R 3 une paramétrisation régulière de Γ . Le vecteur tangent à la courbe est défini par
τ (θ) =
γ (θ)
|γ (θ)|
.
(1.11)