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1 Méthodes Level Set et interfaces lagrangiennes
La variation du vecteur tangent est dirigée par la normale n et proportionnelle
à la courbure H de la courbe. On introduit donc
n(θ) =
τ (θ)
|τ (θ)|
,
τ
(θ) = H(θ)|γ
(θ)|n(θ).
(1.12)
Remarquons qu’avec cette définition la courbure est toujours positive. En
dérivant la relation τ (θ).τ (θ) = 1 par rapport à θ, on obtient que τ (θ) et n(θ)
sont orthogonaux. En calculant τ à l’aide de la paramétrisation, on obtient
τ (θ) =
1
|γ (θ)| (γ (θ) − (γ (θ) · τ (θ))τ (θ)) donc en utilisant (1.12) on obtient
l’équivalent de (1.7) pour les courbes
H(θ) =
γ (θ) · n(θ)
|γ (θ)| 2 .
(1.13)
On introduit alors le vecteur binormal b
b(θ) = τ (θ) × n(θ).
(1.14)
Le vecteur b est donc orthogonal à τ et b, et (τ, n, b) est une base orthonormale
appelé la repère de Frenet adapté à la paramétrisation. En dérivant les relations
b · b = 1 et b · τ = 0 il est facile de montrer que b n’a pas de composante suivant
b et τ . La variation du vecteur binormal est donc dirigé par la normale n et
proportionel à la torsion t ors de la courbe. On introduit donc
b
(θ) = −t ors (θ)|γ
(θ)|n(θ).
(1.15)
En dérivant n · n = 1, on obtient que n n’a pas de composante suivant n et
dérivant l’identité n · τ = n · b = 0 puis en utilisant (1.12) et (1.15) on obtient
finalement
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
τ (θ) = |γ (θ)|H(θ)n(θ),
n (θ) = |γ (θ)|(−H(θ)τ (θ) + t ors (θ)b(θ)),
b (θ) = −|γ (θ)|t ors (θ)n(θ).
(1.16)
Remarque 1.8. On peut montrer que si la courbure est nulle alors la courbe
ressemble localement à une droite et si la torsion est nulle la courbe reste
localement dans un plan. Lorsque l’on considère des courbes planes, i.e
γ(θ) ∈ R 2 , alors n = τ ⊥ ce qui simplifie le calcul de la courbure (1.13). De
plus, il n’y pas de vecteur binormal ni de torsion.
Considérons maintenant une représentation implicite de cette même courbe
Γ ⊂ R 3 à l’aide de deux surfaces. On représente chaque surface comme la
ligne de niveau zéro de fonctions level set ϕ i : R 3 −→ R
S 1 = {x ∈ R
3 /ϕ
1
(x) = 0},
S 2 = {x ∈ R
3 /ϕ
2
(x) = 0}.
1 Méthodes Level Set et interfaces lagrangiennes
La variation du vecteur tangent est dirigée par la normale n et proportionnelle
à la courbure H de la courbe. On introduit donc
n(θ) =
τ (θ)
|τ (θ)|
,
τ
(θ) = H(θ)|γ
(θ)|n(θ).
(1.12)
Remarquons qu’avec cette définition la courbure est toujours positive. En
dérivant la relation τ (θ).τ (θ) = 1 par rapport à θ, on obtient que τ (θ) et n(θ)
sont orthogonaux. En calculant τ à l’aide de la paramétrisation, on obtient
τ (θ) =
1
|γ (θ)| (γ (θ) − (γ (θ) · τ (θ))τ (θ)) donc en utilisant (1.12) on obtient
l’équivalent de (1.7) pour les courbes
H(θ) =
γ (θ) · n(θ)
|γ (θ)| 2 .
(1.13)
On introduit alors le vecteur binormal b
b(θ) = τ (θ) × n(θ).
(1.14)
Le vecteur b est donc orthogonal à τ et b, et (τ, n, b) est une base orthonormale
appelé la repère de Frenet adapté à la paramétrisation. En dérivant les relations
b · b = 1 et b · τ = 0 il est facile de montrer que b n’a pas de composante suivant
b et τ . La variation du vecteur binormal est donc dirigé par la normale n et
proportionel à la torsion t ors de la courbe. On introduit donc
b
(θ) = −t ors (θ)|γ
(θ)|n(θ).
(1.15)
En dérivant n · n = 1, on obtient que n n’a pas de composante suivant n et
dérivant l’identité n · τ = n · b = 0 puis en utilisant (1.12) et (1.15) on obtient
finalement
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
τ (θ) = |γ (θ)|H(θ)n(θ),
n (θ) = |γ (θ)|(−H(θ)τ (θ) + t ors (θ)b(θ)),
b (θ) = −|γ (θ)|t ors (θ)n(θ).
(1.16)
Remarque 1.8. On peut montrer que si la courbure est nulle alors la courbe
ressemble localement à une droite et si la torsion est nulle la courbe reste
localement dans un plan. Lorsque l’on considère des courbes planes, i.e
γ(θ) ∈ R 2 , alors n = τ ⊥ ce qui simplifie le calcul de la courbure (1.13). De
plus, il n’y pas de vecteur binormal ni de torsion.
Considérons maintenant une représentation implicite de cette même courbe
Γ ⊂ R 3 à l’aide de deux surfaces. On représente chaque surface comme la
ligne de niveau zéro de fonctions level set ϕ i : R 3 −→ R
S 1 = {x ∈ R
3 /ϕ
1
(x) = 0},
S 2 = {x ∈ R
3 /ϕ
2
(x) = 0}.