1.3 Méthodes Level Set et géométrie des courbes de R
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On a ensuite Γ = S 1 ∩ S 2 . Notons que, ontrairement à une expression par
paramétrisation, cette construction permet d’obtenir uniquement des courbes
fermées .
Le vecteur ∇ϕ i dirige la normale à S i et on définit donc le vecteur tangent
à Γ par
τ (x) =
∇ϕ 1 × ∇ϕ 2
|∇ϕ 1 × ∇ϕ 2 |
.
(1.17)
Soit x → v(x) un champ de vecteur de R 3 . En utilisant (1.11) on a l’identité
(v(γ(θ)))
= [∇v](γ(θ)) γ
(θ) = [∇v](γ(θ)) τ (γ(θ)) |γ
(θ)|.
(1.18)
Grâce à l’identité (1.18) avec v = τ et à (1.12), ceci conduit aux formules
suivantes pour la normale et la courbure
H(x) = |[∇τ ]τ |,
n (x) =
[∇τ ]τ
|[∇τ ]τ |
.
(1.19)
On introduit le vecteur binormal par la formule
b(x) = τ (x) × n(x).
(1.20)
En dérivant |v| 2 = 1 on obtient [∇v] T v = 0 et en dérivant v · w = 0 on obtient [∇v] T w = −[∇w] T v. En utilisant ces relations pour les vecteurs de la
base orthonormale (τ, n, b), l’identité (1.18) avec v = b et v = n ainsi que les
définitions (1.16), on obtient finalement
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
[∇τ ]τ = Hn,
[∇n]τ = −Hτ + t ors b,
[∇b]τ = −t ors n.
On retrouve l’équivalent eulérien des formules (1.16). En particulier la courbure
et la torsion peuvent se calculer à l’aide de fonctions Level Set par
H = ([∇τ ]τ ) · n = −([∇n]τ ) · τ , t ors = −([∇b]τ ) · n = ([∇n]τ ) · b.
(1.21)
Remarque 1.9. Lorsqu’on considère des courbes planes, il suffit de choisir ϕ 2 =
z et ϕ 1 qui ne dépend que de x, y pour obtenir ∇ϕ 1 × ∇ϕ 2 = (∂ y ϕ 1 , −∂ x ϕ 1 , 0)
et comme n = τ ⊥ on obtient n = −
∇ϕ
1
|∇ϕ 1 |
. La courbure définie dans la formule
précédente se réécrit
H = −([∇n]τ ) · τ = −[∇n] : [I − n ⊗ n] = − div(n) = div
∇ϕ 1
|∇ϕ 1 |
. (1.22)