10
1 Méthodes Level Set et interfaces lagrangiennes
On retrouve donc que la courbure en 2D se calcule comme la divergence de la
normale, comme dans (1.9) pour le cas de surfaces en 3D.
1.4 Expression de forces de surface au moyen de
fonction Level Set
La question de l’évaluation des énergies ou forces surfaciques au moyen
de fonction Level Set est centrale dans toutes ces méthodes. En traitement
d’images ces forces sont construites pour conduire les lignes de niveau à "coller"
aux objets significatifs d’une image, afin de segmenter cette image, comme
illustré sur la Figure 1.3 page 17. En mécanique des fluides faisant intervenir
des milieux diphasiques, ces forces peuvent résulter de la tension superficielle
entre phases. Et, comme on le verra plus en détail dans la suite de ce livre, dans
des calculs d’interaction fluide structure, elles peuvent également représenter
des forces élastiques ou des forces de contact entre différents objets.
Considérons une courbe de R 2 ou une surface de R 3 notée Σ. On définit la
mesure surfacique sur Σ, notée δ Σ par
δ Σ , ψ =
Σ
ψds
(1.23)
pour tout fonction ψ définie et continue dans Ω.
On a alors le résultat fondamental suivant.
Proposition 1.10. Soit r → ζ(r) une fonction continue à support dans
[−1, 1], telle que
ζ(r) dr = 1 et ϕ une fonction de classe C 2 de Ω dans
R telle que |∇ϕ(x)| > 0 pour tout x dans un voisinage de {ϕ = 0}. Alors
1
ε
ζ
ϕ
ε
|∇ϕ|
ε→0
δ {ϕ=0}
(1.24)
dans l’espace des mesures c’est à dire
Ω
1
ε
ζ
ϕ
ε
|∇ϕ|ψ dx −→
ε→0
{ϕ=0}
ψds
(1.25)
pour tout fonction test ψ continue sur Ω.
Preuve. Commençons par vérifier que sous les hypothèses de la proposition
on a, en dimension un,
1
ε
ζ
x
ε
ε→0
δ 0 ,
(1.26)