1.4 Expression de forces de surface au moyen de fonction Level Set
11
où δ 0 est la masse de Dirac unidimensionnelle en 0. En effet pour toute
fonction test ψ ∈ C 0 (R) on peut écrire
1
ε
ζ
x
ε
ψ(x) dx =
ζ(y)ψ(εy) dy −→
ε→0
ζ(y)ψ(0) dy = ψ(0) = δ 0 , ψ,
par convergence dominée.
Pour la suite de la démonstration, nous indiquons trois approches : une
première démonstration supposant que les lignes de niveau de ϕ sont parallèles
a un axe, une démonstration utilisant un système de coordonnées adapté à
la surface et enfin une démonstration intrinsèque. Bien que cette dernière
démonstration soit la plus générale et la plus concise, les deux premières
démonstrations nous paraissent être une manière naturelle de comprendre le
résultat.
a) Cas où ϕ(x 1 ,x 2 ,x 3 ) = rx 3 , r > 0. La ligne de niveau ϕ = 0 correspond
à un plan de R 3 . Supposons r > 0, auquel cas l’orientation de Σ définie par
∇ϕ correspond à l’orientation dans le sens des x 3 croissants de cet axe. Soit
ψ une fonction test définie sur Ω. On a
1
ε
ζ
ϕ
ε
|∇ϕ|ψ dx =
dx 1 dx 2
r
ε
ζ
rx 3
ε
ψ(x 1 ,x 2 ,x 3 ) dx 3 .
On déduit de (1.26) et du théorème de convergence dominée que
1
ε
ζ
ϕ
ε
|∇ϕ|ψ dx −→
ε→0
ψ(x 1 ,x 2 , 0) dx 1 dx 2 =
{ϕ=0}
ψ(x) ds.
b) Démonstration utilisant une paramétrisation adaptée aux
lignes de niveau de ϕ autour de {ϕ = 0} [30]. L’idée est ici de se ramener
au cas plus haut en construisant un système de coordonnées adapté à la
surface, en construisant des directions orthogonales au lignes de niveau de ϕ
(voir figure 1.2), c’est à dire en trouvant une fonction ψ telle que
∇ϕ · ∇ψ = 0 , avec ∇ψ toujours non nul.
(1.27)
Pour simplifier l’exposé, on se limite ici au cas de la dimension 2. Admettons
provisoirement qu’un tel ψ existe (la preuve en sera donnée plus bas). Le
changement de coordonnées (x, y) → (x ,y ) cherché s’écrira
x
= ψ(x, y) , y
= ϕ(x, y).
Ce changement de coordonnées est bien défini si le jacobien est non nul. Or
ce jacobien vaut
J(x, y) = ϕ x ψ y − ϕ y ψ x
ce qui, puisque les gradients de ϕ et ψ sont orthogonaux, est égal, au signe
près au produit des normes de ces deux vecteurs. J est donc non nul.
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où δ 0 est la masse de Dirac unidimensionnelle en 0. En effet pour toute
fonction test ψ ∈ C 0 (R) on peut écrire
1
ε
ζ
x
ε
ψ(x) dx =
ζ(y)ψ(εy) dy −→
ε→0
ζ(y)ψ(0) dy = ψ(0) = δ 0 , ψ,
par convergence dominée.
Pour la suite de la démonstration, nous indiquons trois approches : une
première démonstration supposant que les lignes de niveau de ϕ sont parallèles
a un axe, une démonstration utilisant un système de coordonnées adapté à
la surface et enfin une démonstration intrinsèque. Bien que cette dernière
démonstration soit la plus générale et la plus concise, les deux premières
démonstrations nous paraissent être une manière naturelle de comprendre le
résultat.
a) Cas où ϕ(x 1 ,x 2 ,x 3 ) = rx 3 , r > 0. La ligne de niveau ϕ = 0 correspond
à un plan de R 3 . Supposons r > 0, auquel cas l’orientation de Σ définie par
∇ϕ correspond à l’orientation dans le sens des x 3 croissants de cet axe. Soit
ψ une fonction test définie sur Ω. On a
1
ε
ζ
ϕ
ε
|∇ϕ|ψ dx =
dx 1 dx 2
r
ε
ζ
rx 3
ε
ψ(x 1 ,x 2 ,x 3 ) dx 3 .
On déduit de (1.26) et du théorème de convergence dominée que
1
ε
ζ
ϕ
ε
|∇ϕ|ψ dx −→
ε→0
ψ(x 1 ,x 2 , 0) dx 1 dx 2 =
{ϕ=0}
ψ(x) ds.
b) Démonstration utilisant une paramétrisation adaptée aux
lignes de niveau de ϕ autour de {ϕ = 0} [30]. L’idée est ici de se ramener
au cas plus haut en construisant un système de coordonnées adapté à la
surface, en construisant des directions orthogonales au lignes de niveau de ϕ
(voir figure 1.2), c’est à dire en trouvant une fonction ψ telle que
∇ϕ · ∇ψ = 0 , avec ∇ψ toujours non nul.
(1.27)
Pour simplifier l’exposé, on se limite ici au cas de la dimension 2. Admettons
provisoirement qu’un tel ψ existe (la preuve en sera donnée plus bas). Le
changement de coordonnées (x, y) → (x ,y ) cherché s’écrira
x
= ψ(x, y) , y
= ϕ(x, y).
Ce changement de coordonnées est bien défini si le jacobien est non nul. Or
ce jacobien vaut
J(x, y) = ϕ x ψ y − ϕ y ψ x
ce qui, puisque les gradients de ϕ et ψ sont orthogonaux, est égal, au signe
près au produit des normes de ces deux vecteurs. J est donc non nul.