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1 Méthodes Level Set et interfaces lagrangiennes
Fig. 1.2
Soit maintenant une fonction test w. Utilisant le changement de variables
qui vient d’être défini on peut écrire
1
ε
ζ
ϕ(x, y)
ε
|∇ϕ(x, y)|w(x, y) dxdy
=
1
ε
ζ
y
ε
|∇ϕ(x, y)| ˜
w(x
,y
)
1
|∇ϕ||∇ψ|
dx
dy
,
où ˜
w est défini par w(x, y) = ˜
w(ψ(x, y),ϕ(x, y)). D’après (1.26) on a donc
1
ε
ζ
ϕ(x, y)
ε
|∇ϕ(x, y)|w(x, y) dxdy →
w(x , 0)
|∇ψ(x, y)|
dx
.
L’intégrale dans le membre de droite peut être reliée à une intégrale curviligne
sur Σ en écrivant
x
= ψ(x(s),y(s))
où s est une abscisse curviligne de Σ, ce qui donne
dx
= |∇ψ · τ |ds,
où τ désigne un vecteur unitaire tangent à Σ. Comme ∇ψ et τ sont colinéaires,
on a |∇ψ · τ |ds = |∇ψ|ds et on obtient finalement
1
ε
ζ
ϕ(x, y)
ε
|∇ϕ(x, y)|w(x, y) dxdy →
Σ
w ds.
Il reste à démontrer l’existence du changement de variable (x, y) → (x ,y ). On
observe tout d’abord que puisque
1
ε ζ
ϕ
ε
a un support de largeur 2ε il suffit de
construire ce changement de variable au voisinage de la courbe ϕ = 0. L’idée
consiste à partir d’une paramétrisation s → (x(s),y(s)) de Σ et à prolonger
cette paramétrisation au voisinage de Σ par des fonctions ˜
x(s, r), ˜
y(s, r) pour
r ∈ [−ε, +ε]. Pour cela on cherche à résoudre les équations différentielles