1.4 Expression de forces de surface au moyen de fonction Level Set
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˜
x(s, 0) = x(s) , ∂ r ˜
x(s, r) = ∂ x ϕ(˜ x, ˜
y)
˜
y(s, 0) = y(s) , ∂ r ˜
y(s, r) = ∂ y ϕ(˜ x, ˜
y).
Puisque ϕ a été supposé de classe C 2 sur Ω, ce système est uniformément
lispchitzien et possède donc une unique solution globale en r ∈ [−ε, ε] qui
est de classe C 2 . Il définit un changement de variable car le jacobien de la
transformation (x, y) → (˜ x, ˜
y) vérifie
∂(˜ x, ˜
y)
∂(x, y)
= ∂ s x∂ y ϕ(x(s),y(s)) − ∂ s y∂ x ϕ(x(s),y(s)) + O(r)
= |∇ϕ(x(s),y(s))| + O(r),
la dernière égalité résultant du fait que la tangente à Σ (x s ,y s ) est orthogonale
à ∇ϕ. Comme, par hypothèse, ∇ϕ
= 0 sur Σ, on en déduit que par continuité
le jacobien est non nul au voisinage de Σ. On conclut la démonstration en
construisant ψ de la manière suivante. On se donne d’abord sur R une fonction
régulière, strictement croissante, ψ 0 et on résout
ψ(˜ x(s, r), ˜
y(s, r)) = ψ 0 (s),
(1.28)
ce qui grâce au changement de variable vu plus haut définit bien une unique
fonction ψ au voisinage de Σ. En dérivant (1.28) par rapport à r on obtient
∂ x ψ∂ r ˜
x + ∂ y ψ∂ r ˜
y = 0.
Autrement dit on a bien
∇ϕ · ∇ψ = 0.
Par ailleurs en dérivant (1.28) par rapport à s on obtient
∇ψ · (˜ x s , ˜
y s ) = ψ
0
ce qui montre que ∇ψ ne s’annule pas.
c) Démonstration intrinsèque dans le cas général. Etant donnée
une fonction test ψ posons
g(r) =
{ϕ=r}
ψds.
D’après (1.26) on a
lim
ε→0
R
1
ε
ζ
r
ε
{ϕ=r}
ψ dsdr =
{ϕ=0}
ψ ds,
ou encore
lim
ε→0
R
{ϕ=r}
1
ε
ζ
ϕ
ε
ψ dsdr =
{ϕ=0}
ψ ds.