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1 Méthodes Level Set et interfaces lagrangiennes
Puisque ϕ a son support dans [−1, +1] on peut écrire
R
{ϕ=r}
1
ε
ζ
ϕ
ε
ψ dsdr =
ε
−ε
{ϕ=r}
1
ε
ζ
ϕ
ε
ψ dsdr.
On peut décomposer au voisinage de x le volume dx sous la forme dx = ds ×dh,
où dh est compté suivant la normale
∇ϕ
|∇ϕ| et on remarque que
r ± dr := ϕ
x ± dh
∇ϕ
|∇ϕ|
= ϕ(x) ± dh|∇ϕ| + O(dh
2
),
d’où dsdr = |∇ϕ|dx (voir aussi lemme 3.1 page 55). Donc
R
{ϕ=r}
1
ε
ζ
ϕ
ε
ψ dsdr =
|ϕ(x)|<ε
1
ε
ζ
ϕ
ε
ψ|∇ϕ| dx
=
R d
1
ε
ζ
ϕ
ε
ψ|∇ϕ| dx
ce qui achève la démonstration.
Avant de donner des exemples qui illustrent ce résultat, on peut remarquer
que si en outre on suppose la fonction ζ paire, ce qui est toujours le cas en
pratique, la propriété convergence (1.26) se trouve renforcée. Si on suppose ψ
de classe C 2 on voit en effet facilement que
1
ε
ζ
x
ε
ψ(x) dx − ψ(0)
≤ |ψ| 2,∞
|x| 2
ε
ζ
x
ε
dx ≤ Cε
2 ,
ce qui montre que le calcul des forces à l’aide de fonctions Level Set est d’ordre
2 par rapport au paramètre ε.
1.4.1 Exemple 1 : traitement d’images
En traitement d’images, les méthodes dites de contour actif consistent à
isoler les objets caractéristiques de l’image à l’aide de courbes. Ces courbes
(on se limite dans cette discussion au cas 2D) doivent donc coller au plus près
les contours significatifs de l’image et "oublier" la partie non cohérente de
l’image (le bruit). Ces méthodes sont l’objet d’une vaste littérature que nous
ne pouvons pas évoquer ici, et nous renvoyons notamment le lecteur à [111]
et aux références qui y sont données. Les méthodes Level Set permettent de
mettre en oeuvre cette idée de manière relativement simple.
Etant donnée une fonction Level Set ϕ on commence par définir des énergies
qui traduisent chacun des critères ci-dessus. Supposons l’image constituée de
1 Méthodes Level Set et interfaces lagrangiennes
Puisque ϕ a son support dans [−1, +1] on peut écrire
R
{ϕ=r}
1
ε
ζ
ϕ
ε
ψ dsdr =
ε
−ε
{ϕ=r}
1
ε
ζ
ϕ
ε
ψ dsdr.
On peut décomposer au voisinage de x le volume dx sous la forme dx = ds ×dh,
où dh est compté suivant la normale
∇ϕ
|∇ϕ| et on remarque que
r ± dr := ϕ
x ± dh
∇ϕ
|∇ϕ|
= ϕ(x) ± dh|∇ϕ| + O(dh
2
),
d’où dsdr = |∇ϕ|dx (voir aussi lemme 3.1 page 55). Donc
R
{ϕ=r}
1
ε
ζ
ϕ
ε
ψ dsdr =
|ϕ(x)|<ε
1
ε
ζ
ϕ
ε
ψ|∇ϕ| dx
=
R d
1
ε
ζ
ϕ
ε
ψ|∇ϕ| dx
ce qui achève la démonstration.
Avant de donner des exemples qui illustrent ce résultat, on peut remarquer
que si en outre on suppose la fonction ζ paire, ce qui est toujours le cas en
pratique, la propriété convergence (1.26) se trouve renforcée. Si on suppose ψ
de classe C 2 on voit en effet facilement que
1
ε
ζ
x
ε
ψ(x) dx − ψ(0)
≤ |ψ| 2,∞
|x| 2
ε
ζ
x
ε
dx ≤ Cε
2 ,
ce qui montre que le calcul des forces à l’aide de fonctions Level Set est d’ordre
2 par rapport au paramètre ε.
1.4.1 Exemple 1 : traitement d’images
En traitement d’images, les méthodes dites de contour actif consistent à
isoler les objets caractéristiques de l’image à l’aide de courbes. Ces courbes
(on se limite dans cette discussion au cas 2D) doivent donc coller au plus près
les contours significatifs de l’image et "oublier" la partie non cohérente de
l’image (le bruit). Ces méthodes sont l’objet d’une vaste littérature que nous
ne pouvons pas évoquer ici, et nous renvoyons notamment le lecteur à [111]
et aux références qui y sont données. Les méthodes Level Set permettent de
mettre en oeuvre cette idée de manière relativement simple.
Etant donnée une fonction Level Set ϕ on commence par définir des énergies
qui traduisent chacun des critères ci-dessus. Supposons l’image constituée de