1.4 Expression de forces de surface au moyen de fonction Level Set
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deux niveaux de gris c 1 et c 2 , pour respectivement l’intérieur et l’extérieur des
objets que l’on souhaite segmenter. Si l’on souhaite que le contour délimite
ces deux niveaux de gris il faut minimiser
E 1 (ϕ) =
Ω
|u 0 − c 1 |
2
H(ϕ) dx +
Ω
|u 0 − c 2 |
2
(1 − H(ϕ)) dx,
où u 0 désigne le niveau de gris de l’image à traiter et H désigne la fonction
Heaviside. On considérera dans la suite une version réguliarisée de E 1 , en
conservant la même notation, où H est remplacée par H ε = H
1
ε ζ(
·
ε ).
On suppose ici que l’on vise ϕ < 0 à l’intérieur des objets. Pour éviter que le
contour s’arrête sur des objets d’échelle trop petite (le bruit essentiellement),
une approche naturelle consiste en outre à minimiser la longueur de la ligne
de niveau {ϕ = 0}. Cette longueur peut s’écrire
l(Σ) =
Σ
ds.
Grâce à la proposition 1.10 on peut approcher cette longueur par la quantité
E 2 (ϕ) =
1
ε
ζ
ϕ
ε
|∇ϕ| dx.
Il s’agit donc de minimiser par rapport à ϕ la fonctionnelle αE 1 (ϕ) + βE 2 (ϕ)
où α et β sont deux paramètres positifs à ajuster pour doser l’importance
respective des 2 critères. Un calcul de variation élémentaire permet de calculer
les différentielles ∂E 1 et ∂E 2 de E 1 et E 2 de la manière suivante :
< ∂E 2 ,ψ > =
1
ε 2 ζ
ϕ
ε
|∇ϕ|ψ dx +
1
ε
ζ
ϕ
ε
∇ϕ · ∇ψ
|∇ϕ|
dx
=
1
ε 2 ζ
ϕ
ε
|∇ϕ|ψ dx − div
1
ε
ζ
ϕ
ε
∇ϕ
|∇ϕ|
ψ dx
= −
1
ε
ζ
ϕ
ε
div
∇ϕ
|∇ϕ|
ψ dx.
On en déduit que
∂E 2 = −
1
ε
ζ
ϕ
ε
div
∇ϕ
|∇ϕ|
.
Pour différencier E 1 on commence par remarquer que H
ε (ϕ) =
1
ε ζ
ϕ
ε
et on
en déduit
< ∂E 1 ,ψ >=
1
ε
ζ
ϕ
ε
(|u 0 − c 1 |
2
− |u 0 − c 2 |
2
)ψ dx,
d’où
∂E 1 = (|u 0 − c 1 |
2
− |u 0 − c 2 |
2
)
1
ε
ζ
ϕ
ε
.