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1 Méthodes Level Set et interfaces lagrangiennes
Un algorithme de gradient à pas constant pour minimiser αE 1 (ϕ)+βE 2 (ϕ) peut
par conséquent s’interpréter comme la discrétisation en temps de l’équation
∂ t ϕ = α
1
ε
ζ
ϕ
ε
div
∇ϕ
|∇ϕ|
+ β(|u 0 − c 1 |
2
− |u 0 − c 2 |
2
)
1
ε
ζ
ϕ
ε
.
(1.29)
où les niveaux c 1 et c 2 sont obtenus immédiatement en dérivant l’énergie :
c 1 =
Ω u 0 H ε dx
Ω H ε dx
, c 2 =
Ω u 0 (1 − H ε )dx
Ω 1 − H ε dx
.
La figure 1.3 montre les contours obtenus après plusieurs itérations de cet
algorithme sur une image bruitée. Elle met notamment en évidence une
propriété importante des méthode Level Set, à savoir que la méthode n’est
pas contrainte topologiquement : le contour initial est un cercle et le contour
final consiste en plusieurs courbes fermées isolant les objets souhaités.
1.4.2 Exemple 2 : tension superficielle
Nous considérons ici le cas de deux fluides incompressibles séparés par une
interface sujette à de la tension superficielle [30]. Cette référence contient une
des toutes premières applications des méthodes Level Set en mécanique des
fluides. De part et d’autre de l’interface Σ, ce que nous noterons les domaines
Ω 1 et Ω 2 avec Ω = Ω 1 ∪ Ω 2 ∪ Σ, le fluide est gouverné par les équations de
Navier-Stokes incompressibles :
ρ(∂ t u + u · ∇u) + ∇p − div(2μD(u)) = f , div u = 0, dans Ω 1 ∪ Ω 2 . (1.30)
Dans cette équation μ désigne la viscosité (éventuellement différente dans
chaque phase), et D(u) le tenseur des vitesses de déformations,
D(u) =
1
2
(∇u + ∇u
T
).
Le long de l’interface les vitesses des fluides sont continues et les contraintes
normales sont équilibrées par les forces de tension superficielle. Si on note σ
le tenseur des contraintes fluides :
σ = −pI + 2μD(u)
ou encore :
σ ij = −pδ i,j + μ(∂u i /∂x j + ∂u j /∂x i ).
Si λ désigne le coefficient de tension superficielle, cet équilibre se traduit par
les relations
[σ ij n j ] Σ = λHn i
1 Méthodes Level Set et interfaces lagrangiennes
Un algorithme de gradient à pas constant pour minimiser αE 1 (ϕ)+βE 2 (ϕ) peut
par conséquent s’interpréter comme la discrétisation en temps de l’équation
∂ t ϕ = α
1
ε
ζ
ϕ
ε
div
∇ϕ
|∇ϕ|
+ β(|u 0 − c 1 |
2
− |u 0 − c 2 |
2
)
1
ε
ζ
ϕ
ε
.
(1.29)
où les niveaux c 1 et c 2 sont obtenus immédiatement en dérivant l’énergie :
c 1 =
Ω u 0 H ε dx
Ω H ε dx
, c 2 =
Ω u 0 (1 − H ε )dx
Ω 1 − H ε dx
.
La figure 1.3 montre les contours obtenus après plusieurs itérations de cet
algorithme sur une image bruitée. Elle met notamment en évidence une
propriété importante des méthode Level Set, à savoir que la méthode n’est
pas contrainte topologiquement : le contour initial est un cercle et le contour
final consiste en plusieurs courbes fermées isolant les objets souhaités.
1.4.2 Exemple 2 : tension superficielle
Nous considérons ici le cas de deux fluides incompressibles séparés par une
interface sujette à de la tension superficielle [30]. Cette référence contient une
des toutes premières applications des méthodes Level Set en mécanique des
fluides. De part et d’autre de l’interface Σ, ce que nous noterons les domaines
Ω 1 et Ω 2 avec Ω = Ω 1 ∪ Ω 2 ∪ Σ, le fluide est gouverné par les équations de
Navier-Stokes incompressibles :
ρ(∂ t u + u · ∇u) + ∇p − div(2μD(u)) = f , div u = 0, dans Ω 1 ∪ Ω 2 . (1.30)
Dans cette équation μ désigne la viscosité (éventuellement différente dans
chaque phase), et D(u) le tenseur des vitesses de déformations,
D(u) =
1
2
(∇u + ∇u
T
).
Le long de l’interface les vitesses des fluides sont continues et les contraintes
normales sont équilibrées par les forces de tension superficielle. Si on note σ
le tenseur des contraintes fluides :
σ = −pI + 2μD(u)
ou encore :
σ ij = −pδ i,j + μ(∂u i /∂x j + ∂u j /∂x i ).
Si λ désigne le coefficient de tension superficielle, cet équilibre se traduit par
les relations
[σ ij n j ] Σ = λHn i