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3 Interaction d’un fluide incompressible avec une membrane élastique
˜
ϕ n+1 − ϕ n
Δt
− E
(|∇ϕ
n
|)
Δt
ε
Δ ˜
ϕ
n+1
= −u
n
· ∇ϕ
n
(3.61)
Etape 2 : discrétisation des équations de Navier-Stokes
u n+1 − u n
Δt
−μΔu
n+1
+u
n
·∇u
n
+∇p
n+1
= F [ ˜
ϕ
n+1
] ; div u
n+1
= 0 (3.62)
Etape 3 : advection explicite de ϕ
ϕ n+1 − ϕ n
Δt
+ u
n+1
· ∇ϕ
n
= 0
(3.63)
3.5.3 Validation numérique
Considérons tout d’abord le cas d’une gouttelette visqueuse soumise à
une tension superficielle. Ce cas peut être vu comme un cas particulier de
membrane élastique avec un potentiel linéaire. Dans ce cas, le schéma semiimplicite revient dans sa partie prédictive à une simple équation de diffusion.
Regardons plus précisément le cas d’une interface initiale de forme elliptique,
avec un axe de tailles respectivement 0.5 et 0.75. Sous l’effet de la tension
superficielle, la goutte elliptique relaxe vers une forme circulaire de même
surface. Ce cas test, bien que simple, est une référence utile pour vérifier les
propriétés de conservation de la méthode. Dans toute cette section, Δt est le
pas de temps utilisé pour résoudre l’équation de Navier-Stokes avec la force
élastique. Comme déjà mentionné, en fonction de sa valeur, des sous-itérations
peuvent être utilisées dans l’équation d’advection afin de satisfaire la condition
CFL appropriée.
Le coefficient de tension superficielle (ou de raideur pour une membrane
élastique avec potentiel linéaire) a été pris égal à 1. Tous les tests ont été
effectués avec un pas de temps constant de Δt = 0.0025. La largeur de l’interface a été prise en prenant ε = 6Δx. La figure 3.9 compare pour N = 256
l’évolution des deux axes de l’ellipse obtenue par la méthode Level Set dans
le cas d’un schéma semi-implicite et explicite. Pour ces paramètres, le schéma
semi-implicite, contrairement au schéma explicite, s’avère stable.
La figure 3.10 illustre la convergence numérique du schéma semi-implicite
lorsque la taille du maillage tend vers zéro. Sur cette figure, l’évolution des
petits et grands axes est représentée pour N = 256 et N = 512.
Le modèle eulérien jouit de bonnes propriétés de conservation en volume
car il est basé sur un schéma de projection sur une grille décalée, ce qui assure
à la précision machine une divergence nulle du champ de vitesse. Pour illustrer
cette fonctionnalité, nous montrons dans la figure 3.10 la perte de volume
dans la goutte pour des résolutions allant de N = 64 à N = 512. On peut voir
que la perte de volume pendant les oscillations est maintenue en dessous de
3 Interaction d’un fluide incompressible avec une membrane élastique
˜
ϕ n+1 − ϕ n
Δt
− E
(|∇ϕ
n
|)
Δt
ε
Δ ˜
ϕ
n+1
= −u
n
· ∇ϕ
n
(3.61)
Etape 2 : discrétisation des équations de Navier-Stokes
u n+1 − u n
Δt
−μΔu
n+1
+u
n
·∇u
n
+∇p
n+1
= F [ ˜
ϕ
n+1
] ; div u
n+1
= 0 (3.62)
Etape 3 : advection explicite de ϕ
ϕ n+1 − ϕ n
Δt
+ u
n+1
· ∇ϕ
n
= 0
(3.63)
3.5.3 Validation numérique
Considérons tout d’abord le cas d’une gouttelette visqueuse soumise à
une tension superficielle. Ce cas peut être vu comme un cas particulier de
membrane élastique avec un potentiel linéaire. Dans ce cas, le schéma semiimplicite revient dans sa partie prédictive à une simple équation de diffusion.
Regardons plus précisément le cas d’une interface initiale de forme elliptique,
avec un axe de tailles respectivement 0.5 et 0.75. Sous l’effet de la tension
superficielle, la goutte elliptique relaxe vers une forme circulaire de même
surface. Ce cas test, bien que simple, est une référence utile pour vérifier les
propriétés de conservation de la méthode. Dans toute cette section, Δt est le
pas de temps utilisé pour résoudre l’équation de Navier-Stokes avec la force
élastique. Comme déjà mentionné, en fonction de sa valeur, des sous-itérations
peuvent être utilisées dans l’équation d’advection afin de satisfaire la condition
CFL appropriée.
Le coefficient de tension superficielle (ou de raideur pour une membrane
élastique avec potentiel linéaire) a été pris égal à 1. Tous les tests ont été
effectués avec un pas de temps constant de Δt = 0.0025. La largeur de l’interface a été prise en prenant ε = 6Δx. La figure 3.9 compare pour N = 256
l’évolution des deux axes de l’ellipse obtenue par la méthode Level Set dans
le cas d’un schéma semi-implicite et explicite. Pour ces paramètres, le schéma
semi-implicite, contrairement au schéma explicite, s’avère stable.
La figure 3.10 illustre la convergence numérique du schéma semi-implicite
lorsque la taille du maillage tend vers zéro. Sur cette figure, l’évolution des
petits et grands axes est représentée pour N = 256 et N = 512.
Le modèle eulérien jouit de bonnes propriétés de conservation en volume
car il est basé sur un schéma de projection sur une grille décalée, ce qui assure
à la précision machine une divergence nulle du champ de vitesse. Pour illustrer
cette fonctionnalité, nous montrons dans la figure 3.10 la perte de volume
dans la goutte pour des résolutions allant de N = 64 à N = 512. On peut voir
que la perte de volume pendant les oscillations est maintenue en dessous de