3.5 Schémas numériques explicites et semi-implicites en temps
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tangentielle et normale (3.18) :
F [ϕ] =
∇ Γ (E
(|∇ϕ|)) − E(|∇ϕ|)H(ϕ)
∇ϕ
|∇ϕ|
|∇ϕ|
1
ε
ζ
ϕ
ε
Le schéma explicite consiste à enchaîner des résolutions des équations de
Navier-Stokes où les forces élastiques sont évaluées à partir des valeurs de ϕ
de l’instant précédent, suivies d’une équation de transport où le champ de
vitesse est issu de l’étape précédente :
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
u n+1 − u n
Δt
= F [ϕ n ] + R(u n ,u n+1 ),
div u n+1 = 0,
ϕ n+1 − ϕ n
Δt
+ u n+1 · ∇ϕ n+1 = 0,
(3.58)
3.5.2 Schéma semi-implicite
Nous étendons maintenant le schéma semi-implicite (1.60)-(1.62) au cas
général d’une interface élastique immergée dans un fluide incompressible. Nous
procédons comme dans le cas de la tension de surface, et commençons par
écrire un pas de temps implicite en diffusion et explicite en convection pour
l’équation de Navier-Stokes
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
u n+1 − u n
Δt
= F [ϕ n+1 ] + μΔu n+1 − u n · ∇u n − ∇p n+1 ,
div u n+1 = 0,
ϕ n+1 − ϕ n
Δt
+ u n+1 · ∇ϕ n+1 = 0,
(3.59)
à partir de quoi nous construisons la prédiction suivante de u n+1 :
˜
u
n+1
= u
n
+ ΔtF [ϕ
n+1
].
En insérant cette expression dans l’équation d’advection pour ϕ on constate
que la composante tangentielle de la force ne donne aucune contribution. En
ne retenant que des termes d’ordre supérieur, il nous reste
˜
ϕ n+1 − ϕ n
Δt
− E
(|∇ϕ
n
|)
Δt
ε
Δ ˜
ϕ
n+1
= −u
n
· ∇ϕ
n .
(3.60)
La méthode semi-implicite se résume donc en les sous-étapes suivantes :
Etape 1 : diffusion implicite sur ϕ