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3 Interaction d’un fluide incompressible avec une membrane élastique
F 3 = ∇
E 3 (Z 3 )
1
ε 2 ζ
ϕ 1
ε
ζ
ϕ 2
ε
+ div
E
3 (Z 3 )Z 3 τ ⊗ τ
1
ε 2 ζ
ϕ 1
ε
ζ
ϕ 2
ε
.
On montre également dans l’annexe la proposition 7.14 qui permet de
décomposer cette force de la manière suivante
F 3 = ((∇
E
3 (Z 3 )J
· τ )τ + E
3 (Z 3 )JHn)Z 3 J
−1 1
ε 2 ζ
ϕ 1
ε
ζ
ϕ 2
ε
. (3.57)
Il est intéressant de noter que la force se décompose uniquement dans la
base (τ, n) et qu’il n’y a donc de composante suivant le vecteur binormal b.
On renvoie à la section 1.3 pour les définitions à l’aide de fonctions Level Set
de ces notions géométriques pour les courbes paramétrées de R 3 .
3.5 Schémas numériques explicites et semi-implicites en
temps
On a vu en section 1.6 que la technique de discrétisation en temps choisie
pour articuler l’advection de la fonction Level Set et la prise en compte des
forces de capillarité dans les équations de Navier-Stokes impactait la stabilité
des modèles, et qu’un schéma semi-implicite pouvait se révéler profitable
de ce point de vue. Cette situation se reproduit dans les cas d’interaction
fluide-structure traités dans ce chapitre, ce qui n’est pas surprenant car les
forces élastiques portées par les membranes peuvent être vues comme des
généralisations des forces capillaires.
Nous décrivons dans ce qui suit la transcription au cas des membranes
sans cisaillement couvert dans la section 3.2 des schémas explicites et semiimplicites vus en section 1.6 et donnons des illustrations numériques de leur
comportement. Notons qu’il n’est pas nécessaire de donner des analyses de
stabilité linéaire de ces schémas. En effet les linéarisations et approximations
des termes de couplage opérées en section 1.6 aboutissent aux mêmes modèles
que dans le cas de fluides multi-phasiques et conduisent donc aux mêmes
conclusions sur les conditions de stabilité linéaire des schémas.
3.5.1 Schéma explicite
Nous rappelons l’expression de la force élastique telle qu’elle apparaît dans
la partie droite de l’équation de Navier-Stokes, exprimée en composantes
3 Interaction d’un fluide incompressible avec une membrane élastique
F 3 = ∇
E 3 (Z 3 )
1
ε 2 ζ
ϕ 1
ε
ζ
ϕ 2
ε
+ div
E
3 (Z 3 )Z 3 τ ⊗ τ
1
ε 2 ζ
ϕ 1
ε
ζ
ϕ 2
ε
.
On montre également dans l’annexe la proposition 7.14 qui permet de
décomposer cette force de la manière suivante
F 3 = ((∇
E
3 (Z 3 )J
· τ )τ + E
3 (Z 3 )JHn)Z 3 J
−1 1
ε 2 ζ
ϕ 1
ε
ζ
ϕ 2
ε
. (3.57)
Il est intéressant de noter que la force se décompose uniquement dans la
base (τ, n) et qu’il n’y a donc de composante suivant le vecteur binormal b.
On renvoie à la section 1.3 pour les définitions à l’aide de fonctions Level Set
de ces notions géométriques pour les courbes paramétrées de R 3 .
3.5 Schémas numériques explicites et semi-implicites en
temps
On a vu en section 1.6 que la technique de discrétisation en temps choisie
pour articuler l’advection de la fonction Level Set et la prise en compte des
forces de capillarité dans les équations de Navier-Stokes impactait la stabilité
des modèles, et qu’un schéma semi-implicite pouvait se révéler profitable
de ce point de vue. Cette situation se reproduit dans les cas d’interaction
fluide-structure traités dans ce chapitre, ce qui n’est pas surprenant car les
forces élastiques portées par les membranes peuvent être vues comme des
généralisations des forces capillaires.
Nous décrivons dans ce qui suit la transcription au cas des membranes
sans cisaillement couvert dans la section 3.2 des schémas explicites et semiimplicites vus en section 1.6 et donnons des illustrations numériques de leur
comportement. Notons qu’il n’est pas nécessaire de donner des analyses de
stabilité linéaire de ces schémas. En effet les linéarisations et approximations
des termes de couplage opérées en section 1.6 aboutissent aux mêmes modèles
que dans le cas de fluides multi-phasiques et conduisent donc aux mêmes
conclusions sur les conditions de stabilité linéaire des schémas.
3.5.1 Schéma explicite
Nous rappelons l’expression de la force élastique telle qu’elle apparaît dans
la partie droite de l’équation de Navier-Stokes, exprimée en composantes