3.4 Courbe immergée dans R
3
77
L’identité A(v ⊗v)A T = (Av)⊗(Av), conjuguée à (3.52), conduit à l’expression
suivante du tenseur des déformations linéiques en coordonnées eulériennes :
L =
τ ⊗ τ
(B −1 τ ) · τ
(3.53)
3.4.2 Invariants et force élastique associée
Si x un vecteur orthogonal à τ , alors Lx = 0. Le plan orthogonal à τ
est donc un sous espace propre de dimension 2 associé à la valeur propre
0 de l’opérateur L . Comme L est positif, car Lx · x = | ˜
M T x| 2 ≥ 0, on note
λ 2
1 = Tr(L) la valeur propre non nulle. On introduit l’invariant
Z 3 =
Tr(L) =
1
(B −1 τ ) · τ
.
(3.54)
Dans la configuration de référence (souvent prise à l’instant t = 0), on a
L(0) = τ 0 ⊗ τ 0 donc Tr(L(0)) = 1. Nous avons Z 3 = 1 à t = 0 et l’inégalité
Z 3 ≥ 0. La proposition 7.6, démontré en annexe, prouve que Z 3 mesure, en
régime compressible comme incompressible, la variation de longueur de la
courbe. On a de plus d’après la proposition 7.7 démontré en annexe la relation
Z 3 = J
|∇ϕ 1 × ∇ϕ 2 |
|∇ϕ 1
0 (Y ) × ∇ϕ 2
0 (Y )|
(3.55)
où ϕ 1 ,ϕ 2 sont deux fonctions Level Set dont l’intersection des surfaces associées
représente la courbe. On peut donc calculer la variation locale de longueur
uniquement avec le gradient de ces deux fonctions. Ce résultat est l’équivalent
de (3.42) pour les courbes.
On introduit l’énergie régularisée
E 3 =
Ω
E 3 (Z 3 )
1
ε 2 ζ
ϕ 1
ε
ζ
ϕ 2
ε
dx.
(3.56)
où E 3 est la loi de comportement associée à l’invariant Z 3 . Grace à la formule
d’approximation volumique (7.44) on obtient que cette énergie converge vers
le perimètre de la courbe paramétrée pour la loi de comportement E 3 (r) = r
ce qui correspond à l’équivalent pour les courbes de l’énergie de tension de
surface.
D’après la proposition 7.13 démontré dans l’annexe, la force associée est
donnée par
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L’identité A(v ⊗v)A T = (Av)⊗(Av), conjuguée à (3.52), conduit à l’expression
suivante du tenseur des déformations linéiques en coordonnées eulériennes :
L =
τ ⊗ τ
(B −1 τ ) · τ
(3.53)
3.4.2 Invariants et force élastique associée
Si x un vecteur orthogonal à τ , alors Lx = 0. Le plan orthogonal à τ
est donc un sous espace propre de dimension 2 associé à la valeur propre
0 de l’opérateur L . Comme L est positif, car Lx · x = | ˜
M T x| 2 ≥ 0, on note
λ 2
1 = Tr(L) la valeur propre non nulle. On introduit l’invariant
Z 3 =
Tr(L) =
1
(B −1 τ ) · τ
.
(3.54)
Dans la configuration de référence (souvent prise à l’instant t = 0), on a
L(0) = τ 0 ⊗ τ 0 donc Tr(L(0)) = 1. Nous avons Z 3 = 1 à t = 0 et l’inégalité
Z 3 ≥ 0. La proposition 7.6, démontré en annexe, prouve que Z 3 mesure, en
régime compressible comme incompressible, la variation de longueur de la
courbe. On a de plus d’après la proposition 7.7 démontré en annexe la relation
Z 3 = J
|∇ϕ 1 × ∇ϕ 2 |
|∇ϕ 1
0 (Y ) × ∇ϕ 2
0 (Y )|
(3.55)
où ϕ 1 ,ϕ 2 sont deux fonctions Level Set dont l’intersection des surfaces associées
représente la courbe. On peut donc calculer la variation locale de longueur
uniquement avec le gradient de ces deux fonctions. Ce résultat est l’équivalent
de (3.42) pour les courbes.
On introduit l’énergie régularisée
E 3 =
Ω
E 3 (Z 3 )
1
ε 2 ζ
ϕ 1
ε
ζ
ϕ 2
ε
dx.
(3.56)
où E 3 est la loi de comportement associée à l’invariant Z 3 . Grace à la formule
d’approximation volumique (7.44) on obtient que cette énergie converge vers
le perimètre de la courbe paramétrée pour la loi de comportement E 3 (r) = r
ce qui correspond à l’équivalent pour les courbes de l’énergie de tension de
surface.
D’après la proposition 7.13 démontré dans l’annexe, la force associée est
donnée par