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3 Interaction d’un fluide incompressible avec une membrane élastique
potentielle qu’on peut entrevoir est la simulation de l’influence de la végétation
aquatique sur les écoulements [51, 112], par exemple dans le but de limiter
l’ensablement du littoral.
3.4.1 Un tenseur eulérien pour mesurer les
déformations linéiques
On s’interesse à une courbe paramétrée Γ 0 qui est déformée en Γ t = X(t, Γ 0 )
avec le champ X. On note τ 0 (ξ) le vecteur tangent à la courbe en un point
ξ ∈ Γ 0 et τ (X(t, ξ),t) le vecteur tangent tangent à Γ t au point X(t, ξ). D’après
(2.14), ces vecteurs sont liés par la relation
τ (X(ξ, t),t) =
[∇ ξ X(t, ξ)]τ 0 (ξ)
|[∇ ξ X(t, ξ)]τ 0 (ξ)|
(3.49)
ou, écrit sous forme eulérienne en utilisant (2.5),
τ =
[∇Y ] −1 τ 0 (Y )
|[∇Y ] −1 τ 0 (Y )|
τ 0 (Y ) =
[∇Y ]τ
|[∇Y ]τ |
.
(3.50)
On souhaite mesurer les déformations sur la courbe Γ t . En s’appuyant sur
la formulation lagrangienne, plus naturelle dans ce contexte, on commence par
introduire la projection du tenseur de déformation suivant le vecteur tangent
τ 0 :
M (X(t, ξ),t) := [∇ ξ X(t, ξ)][τ 0 (ξ) ⊗ τ 0 (ξ)].
(3.51)
˜
M agit de la manière suivante : soit v(ξ) défini en un point ξ ∈ Γ 0 . Ce vecteur
est d’abord projeté le long de la tangente τ 0 avec l’opérateur [τ 0 (ξ) ⊗ τ 0 (ξ)] en
un vecteur v τ (ξ). Ensuite le vecteur v τ (ξ) est déformé avec X en le vecteur
[∇ ξ X(t, ξ)]v τ (ξ) au point X(t, ξ). Ce vecteur est donc bien colinéaire à τ
d’après (3.49).
Le tenseur (3.51) s’écrit dans sa forme Eulérienne avec (2.5)
M (x, t) := [∇Y (x, t)]
−1
[τ 0 (Y (x, t)) ⊗ τ 0 (Y (x, t))].
Le tenseur de Cauchy-Green associé est défini par
L :=
M
M
T
= [∇Y ]
−1
(τ 0 (Y ) ⊗ τ 0 (Y ))[∇Y ]
−T ,
la deuxième égalité découlant du fait que τ 0 ⊗ τ 0 est un projecteur. En considérant le tenseur B = [∇ ξ X][∇ ξ X] T = [∇Y ] −1 [∇Y ] −T et en utilisant (3.50),
on obtient la relation suivante
|[∇Y ]
−1 τ 0 (Y )|
−2
= |[∇Y ]τ |
2
= (B
−1 τ ) · τ.
(3.52)