3.4 Courbe immergée dans R
3
75
Le modèle fluide-structure complet est donc formulé ainsi :
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
∂ t u + u · ∇u − μΔu + ∇p = F 1 (ϕ, Y ) + F 2 (ϕ, Y ) sur Ω×]0,T ],
div u = 0
sur Ω×]0,T ],
∂ t Y + u · ∇Y = 0
sur Ω×]0,T ].
(3.48)
Ce modèle de type fluide complexe, prenant en compte l’élasticité complète
de membrane (variation d’aire et cisaillement) est donc une extension des
équations de Navier-Stokes avec un terme source élastique qui est calculé à
l’aide de fonctions Level Set (les composantes du vecteur Y ) transportées par
l’écoulement.
Les schémas numériques pour la résolution des équations (3.48) reposent
sur une discrétisation différences finies sur grille cartésienne décalée MAC.
Une méthode de projection est utilisée pour résoudre les équations de NavierStokes incompressibles et des schémas WENO pour la partie transport des
caractéristiques rétrogrades. Les termes intervenant dans les équations de
Navier-Stokes sont discrétisés en espace avec des schémas standards de différences finies. La force élastique est localisée sur la membrane avec une masse
de Dirac discrétisée.
3.4 Courbe immergée dans R 3
Dans cette section, on propose une approche eulérienne de l’élasticité des
courbes de R 3 . L’utilisation de fonctions Level Set pour représenter des courbes
dans l’espace a été considérée par exemple dans [24] avec des applications
potentielles au traitement d’images. Des fonctions Level Set peuvent également
être utilisées en mécanique de la rupture pour représenter un front de fissure
[81]. Nous nous intéressons ici à l’exploitation de ce formalisme dans le contexte
de l’interaction fluide-structure.
Après avoir introduit un invariant qui mesure la variation de longueur d’une
courbe au cours d’une déformation, on introduira une énergie élastique et on
en déduira la force élastique associée. Nous ne présentons pas de simulations
numériques associées à ce nouveau modèle dans ce livre mais ce modèle
pourrait être simplement implémenté, comme les autres modèles élastiques
eulériens proposés dans ce livre, comme un terme source dans les équations
de Navier Stokes. Le but de cet exemple est de montrer comment les outils
et le formalisme des fonctions Level Set introduites dans ce livre permettent
de définir des énergies plus générales en formulation eulérienne et comment
calculer les forces associées.
Pour aller plus loin, on pourrait considérer des énergies qui dépendent
de quantités géométriques comme la courbure et la torsion qui peuvent
être exprimées à l’aide de fonctions Level Set d’après (1.21). Une application
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Le modèle fluide-structure complet est donc formulé ainsi :
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
∂ t u + u · ∇u − μΔu + ∇p = F 1 (ϕ, Y ) + F 2 (ϕ, Y ) sur Ω×]0,T ],
div u = 0
sur Ω×]0,T ],
∂ t Y + u · ∇Y = 0
sur Ω×]0,T ].
(3.48)
Ce modèle de type fluide complexe, prenant en compte l’élasticité complète
de membrane (variation d’aire et cisaillement) est donc une extension des
équations de Navier-Stokes avec un terme source élastique qui est calculé à
l’aide de fonctions Level Set (les composantes du vecteur Y ) transportées par
l’écoulement.
Les schémas numériques pour la résolution des équations (3.48) reposent
sur une discrétisation différences finies sur grille cartésienne décalée MAC.
Une méthode de projection est utilisée pour résoudre les équations de NavierStokes incompressibles et des schémas WENO pour la partie transport des
caractéristiques rétrogrades. Les termes intervenant dans les équations de
Navier-Stokes sont discrétisés en espace avec des schémas standards de différences finies. La force élastique est localisée sur la membrane avec une masse
de Dirac discrétisée.
3.4 Courbe immergée dans R 3
Dans cette section, on propose une approche eulérienne de l’élasticité des
courbes de R 3 . L’utilisation de fonctions Level Set pour représenter des courbes
dans l’espace a été considérée par exemple dans [24] avec des applications
potentielles au traitement d’images. Des fonctions Level Set peuvent également
être utilisées en mécanique de la rupture pour représenter un front de fissure
[81]. Nous nous intéressons ici à l’exploitation de ce formalisme dans le contexte
de l’interaction fluide-structure.
Après avoir introduit un invariant qui mesure la variation de longueur d’une
courbe au cours d’une déformation, on introduira une énergie élastique et on
en déduira la force élastique associée. Nous ne présentons pas de simulations
numériques associées à ce nouveau modèle dans ce livre mais ce modèle
pourrait être simplement implémenté, comme les autres modèles élastiques
eulériens proposés dans ce livre, comme un terme source dans les équations
de Navier Stokes. Le but de cet exemple est de montrer comment les outils
et le formalisme des fonctions Level Set introduites dans ce livre permettent
de définir des énergies plus générales en formulation eulérienne et comment
calculer les forces associées.
Pour aller plus loin, on pourrait considérer des énergies qui dépendent
de quantités géométriques comme la courbure et la torsion qui peuvent
être exprimées à l’aide de fonctions Level Set d’après (1.21). Une application