74
3 Interaction d’un fluide incompressible avec une membrane élastique
3.3.4 Energie et modèle de couplage
On introduit, en suivant toujours l’approche Level Set décrite en section 1.4,
l’énergie régularisée
E i =
Ω
E i (Z i )
1
ε
ζ
ϕ
ε
dx.
(3.45)
où E i est la loi de comportement associée à l’invariant Z i .
Théorème 3.8. La variation temporelle de E i , en utilisant le principe
des travaux virtuels vérifie
∂ t E i = −
Ω
F i · udx
(3.46)
et correspond à la force suivante :
F i = ∇
E i (Z i )
1
ε
ζ
ϕ
ε
+ div
E
i (Z i )Z i C i
1
ε
ζ
ϕ
ε
.
(3.47)
Preuve. En dérivant par rapport à t
∂ t E i =
Ω
E
i (Z i )∂ t (Z i )
1
ε
ζ
ϕ
ε
dx +
Ω
E i (Z i )
1
ε 2 ζ
ϕ
ε
∂ t ϕ dx.
En utilisant l’équation de transport sur ϕ et l’équation ∂ t Z i + u · ∇Z i = [∇u] :
Z i C i qui correspond à la proposition 7.2 démontrée en annexe, on obtient
∂ t E i =
Ω
E
i (Z i )(−u · ∇Z i + [∇u] : Z i C i )
1
ε
ζ
ϕ
ε
dx
+
Ω
E i (Z i )
1
ε 2 ζ
ϕ
ε
(−u · ∇ϕ) dx.
En intégrant le deuxième terme par parties (l’intégrale sur ∂Ω s’annule car
ζ(
ϕ
ε ) = 0 sur ∂Ω)
∂ t E i = −
Ω
u · ∇(E i (Z i ))
1
ε
ζ
ϕ
ε
+ div
E
i (Z i )Z i C i
1
ε
ζ
ϕ
ε
· u
+ E i (Z i )u · ∇
1
ε
ζ
ϕ
ε
dx.
En regroupant le premier et le dernier terme et en utilisant (3.46) on obtient
l’expression (3.47).