3.3 Membrane immergée : cas avec cisaillement
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démontré en annexe, prouve que Z 1 mesure, en régime compressible comme
incompressible, la variation d’aire de la surface. On a de plus d’après la
proposition 7.4 démontré en annexe la relation
Z 1 = J
|∇ϕ|
|∇ϕ 0 (Y )|
.
(3.42)
On retrouve donc le résultat de la proposition 3.2 obtenu avec les membranes
réagissant uniquement à la variation d’aire : |∇ϕ| mesure la variation locale
d’aire pour un écoulement incompressible. L’invariant Z 2 est plus difficile à
justifier dans le cadre général. Pour mettre en évidence son comportement,
nous proposons dans l’annexe 7.2.2 une étude détaillée de son comportement
lors de la déformation prescrite d’une surface. Dans ce paragraphe, nous
illustrons simplement le comportement de ces invariants pour des déformation
d’une surface plane dans son plan. Les déformations proposées sont uniformes
dans l’espace dans le sens où les invariants ne dépendent pas des variables
spatiales. Le champ de vitesse associé à chaque déformation est représenté sur
les figures ci-dessous avec les valeurs correspondantes de Z 1 et Z 2 en fonction
du temps t. Nous renvoyons à l’annexe pour les références aux formules
analytiques correspondant aux différents cas tests (numérotés TC1 et TC2).
La déformation β = −1 est une rotation et il n’y a pas de variation d’aire et
de cisaillement (voir Figure 3.7). La déformation α = 1 est une dilatation pure
et il n’y a qu’une variation d’aire (voir Figure 3.4). Les déformations β = 0,
β = 1, α = −1 correspondent à différentes transformations de cisaillement
et il n’y a qu’une variation de cisaillement (voir Figure 3.8, 3.6, 3.3). La
déformation α = 0 est uniaxiale et il y a une variation d’aire et de cisaillement
(voir Figure 3.5). Cela peut sembler surprenant à première vue, mais quand
une surface est étirée dans deux directions de magnitude différente (α = 1),
nous avons un cisaillement. Les six illustrations ci-dessous sont tirées de [107].
Remarque 3.7. Dans l’article [107], on introduit (θ 1 ,θ 2 ) → γ(t, θ 1 ,θ 2 ) une paramétrisation de la surface S t avec γ : R + × U −→ R 3 où U est un ouvert de
R 2 . On définit alors les invariants
Z 1 (t) =
det(M(t))
Z 2 (t) =
Tr(M(t))
2
det(M(t))
(3.43)
où [M(t)] ij = ∂ θ i γ · ∂ θ j γ est une matrice 2 × 2 appelée métrique. On montre
alors que
Z 1 (t)
Z 1 (0) correspond bien à la variation locale d’aire et ne dépend pas de
la paramétrisation. On montre ensuite sur des exemples que la quantité
Z 2 (t)
Z 2 (0)
semble mesurer la variation locale de cisaillement mais qu’elle dépend de la
paramétrisation choisie. Ceci est dû à un mauvais choix des invariants. La
bonne quantité à introduire dans le cadre lagrangien est
A(t) = M(t)M(0) −1 .
On a
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démontré en annexe, prouve que Z 1 mesure, en régime compressible comme
incompressible, la variation d’aire de la surface. On a de plus d’après la
proposition 7.4 démontré en annexe la relation
Z 1 = J
|∇ϕ|
|∇ϕ 0 (Y )|
.
(3.42)
On retrouve donc le résultat de la proposition 3.2 obtenu avec les membranes
réagissant uniquement à la variation d’aire : |∇ϕ| mesure la variation locale
d’aire pour un écoulement incompressible. L’invariant Z 2 est plus difficile à
justifier dans le cadre général. Pour mettre en évidence son comportement,
nous proposons dans l’annexe 7.2.2 une étude détaillée de son comportement
lors de la déformation prescrite d’une surface. Dans ce paragraphe, nous
illustrons simplement le comportement de ces invariants pour des déformation
d’une surface plane dans son plan. Les déformations proposées sont uniformes
dans l’espace dans le sens où les invariants ne dépendent pas des variables
spatiales. Le champ de vitesse associé à chaque déformation est représenté sur
les figures ci-dessous avec les valeurs correspondantes de Z 1 et Z 2 en fonction
du temps t. Nous renvoyons à l’annexe pour les références aux formules
analytiques correspondant aux différents cas tests (numérotés TC1 et TC2).
La déformation β = −1 est une rotation et il n’y a pas de variation d’aire et
de cisaillement (voir Figure 3.7). La déformation α = 1 est une dilatation pure
et il n’y a qu’une variation d’aire (voir Figure 3.4). Les déformations β = 0,
β = 1, α = −1 correspondent à différentes transformations de cisaillement
et il n’y a qu’une variation de cisaillement (voir Figure 3.8, 3.6, 3.3). La
déformation α = 0 est uniaxiale et il y a une variation d’aire et de cisaillement
(voir Figure 3.5). Cela peut sembler surprenant à première vue, mais quand
une surface est étirée dans deux directions de magnitude différente (α = 1),
nous avons un cisaillement. Les six illustrations ci-dessous sont tirées de [107].
Remarque 3.7. Dans l’article [107], on introduit (θ 1 ,θ 2 ) → γ(t, θ 1 ,θ 2 ) une paramétrisation de la surface S t avec γ : R + × U −→ R 3 où U est un ouvert de
R 2 . On définit alors les invariants
Z 1 (t) =
det(M(t))
Z 2 (t) =
Tr(M(t))
2
det(M(t))
(3.43)
où [M(t)] ij = ∂ θ i γ · ∂ θ j γ est une matrice 2 × 2 appelée métrique. On montre
alors que
Z 1 (t)
Z 1 (0) correspond bien à la variation locale d’aire et ne dépend pas de
la paramétrisation. On montre ensuite sur des exemples que la quantité
Z 2 (t)
Z 2 (0)
semble mesurer la variation locale de cisaillement mais qu’elle dépend de la
paramétrisation choisie. Ceci est dû à un mauvais choix des invariants. La
bonne quantité à introduire dans le cadre lagrangien est
A(t) = M(t)M(0) −1 .
On a