70
3 Interaction d’un fluide incompressible avec une membrane élastique
(M (X(t, ξ),t)v(ξ)) · n(X(t, ξ),t) = ([∇ ξ X]
T n(X(t, ξ),t)) · v τ (ξ)) = 0
Le tenseur (3.36) est écrit dans sa forme Eulérienne avec (2.5)
M (x, t) := [∇Y (x, t)]
−1
[I − n 0 (Y (x, t)) ⊗ n 0 (Y (x, t))].
En utilisant le fait que I − n 0 ⊗ n 0 est un projecteur, donc idempotent, le
tenseur de Cauchy-Green associé est défini par
A := MM
T
= [∇Y ]
−1
(I − n 0 (Y ) ⊗ n 0 (Y ))[∇Y ]
−T .
Le tenseur de Cauchy-Green à droite jouera un rôle important dans la suite.
Il est défini par
B = [∇ ξ X][∇ ξ X]
T
= [∇Y ]
−1
[∇Y ]
−T ,
(3.37)
En utilisant (3.34), la relation A(v ⊗ v)A T = (Av) ⊗ (Av) et |[∇Y ] −T n| 2 =
(Bn) · n on obtient finalement l’expression du tenseur des déformations surfaciques en coordonnées eulériennes :
A = B −
(Bn) ⊗ (Bn)
(Bn) · n
.
(3.38)
3.3.3 Invariants et force élastique associée
On part du postulat que les invariants du tenseur A sont les quantités susceptibles de porter l’information pertinente pour définir les forces surfaciques.
En utilisant (3.38) on a
An = 0.
(3.39)
Donc 0 est une valeur propre et det(A) = 0. Les autres invariants sont Tr(A)
et Tr(Cof(A)) =
1
2 (Tr(A) 2 − Tr(A 2 )). Comme A est une matrice réelle et
symétrique, il existe une base orthonormale de vecteurs propres. De plus A
est positive car Ax · x = |M T x| 2 ≥ 0. On note 0, λ 2
1 et λ 2
2 les valeurs propres
associées. On a donc Tr(A) = λ 2
1 + λ 2
2 et Tr(Cof(A)) = (λ 1 λ 2 ) 2 . Dans ce qui
suit, nous montrerons que les expressions suivantes permettent de capturer la
déformation complète d’une membrane :
Z 1 =
Tr(Cof(A)) = |λ 1 λ 2 |,
(3.40)
Z 2 =
Tr(A)
2
Tr(Cof(A))
=
1
2
λ 1
λ 2
+
λ 2
λ 1
.
(3.41)
Dans la configuration de référence (souvent prise à l’instant t = 0), on a
A(0) = I − n 0 ⊗ n 0 donc Tr(A(0)) = 2 et Tr(Cof(A(0))) = 1. Nous avons
Z 1 = Z 2 = 1 à t = 0 et les inégalités Z 1 ≥ 0, Z 2 ≥ 1. La proposition 7.3,
3 Interaction d’un fluide incompressible avec une membrane élastique
(M (X(t, ξ),t)v(ξ)) · n(X(t, ξ),t) = ([∇ ξ X]
T n(X(t, ξ),t)) · v τ (ξ)) = 0
Le tenseur (3.36) est écrit dans sa forme Eulérienne avec (2.5)
M (x, t) := [∇Y (x, t)]
−1
[I − n 0 (Y (x, t)) ⊗ n 0 (Y (x, t))].
En utilisant le fait que I − n 0 ⊗ n 0 est un projecteur, donc idempotent, le
tenseur de Cauchy-Green associé est défini par
A := MM
T
= [∇Y ]
−1
(I − n 0 (Y ) ⊗ n 0 (Y ))[∇Y ]
−T .
Le tenseur de Cauchy-Green à droite jouera un rôle important dans la suite.
Il est défini par
B = [∇ ξ X][∇ ξ X]
T
= [∇Y ]
−1
[∇Y ]
−T ,
(3.37)
En utilisant (3.34), la relation A(v ⊗ v)A T = (Av) ⊗ (Av) et |[∇Y ] −T n| 2 =
(Bn) · n on obtient finalement l’expression du tenseur des déformations surfaciques en coordonnées eulériennes :
A = B −
(Bn) ⊗ (Bn)
(Bn) · n
.
(3.38)
3.3.3 Invariants et force élastique associée
On part du postulat que les invariants du tenseur A sont les quantités susceptibles de porter l’information pertinente pour définir les forces surfaciques.
En utilisant (3.38) on a
An = 0.
(3.39)
Donc 0 est une valeur propre et det(A) = 0. Les autres invariants sont Tr(A)
et Tr(Cof(A)) =
1
2 (Tr(A) 2 − Tr(A 2 )). Comme A est une matrice réelle et
symétrique, il existe une base orthonormale de vecteurs propres. De plus A
est positive car Ax · x = |M T x| 2 ≥ 0. On note 0, λ 2
1 et λ 2
2 les valeurs propres
associées. On a donc Tr(A) = λ 2
1 + λ 2
2 et Tr(Cof(A)) = (λ 1 λ 2 ) 2 . Dans ce qui
suit, nous montrerons que les expressions suivantes permettent de capturer la
déformation complète d’une membrane :
Z 1 =
Tr(Cof(A)) = |λ 1 λ 2 |,
(3.40)
Z 2 =
Tr(A)
2
Tr(Cof(A))
=
1
2
λ 1
λ 2
+
λ 2
λ 1
.
(3.41)
Dans la configuration de référence (souvent prise à l’instant t = 0), on a
A(0) = I − n 0 ⊗ n 0 donc Tr(A(0)) = 2 et Tr(Cof(A(0))) = 1. Nous avons
Z 1 = Z 2 = 1 à t = 0 et les inégalités Z 1 ≥ 0, Z 2 ≥ 1. La proposition 7.3,