3.3 Membrane immergée : cas avec cisaillement
69
n 0 (Y (x, t)) =
[∇Y (x, t)] −T n(x, t)
|[∇Y (x, t)] −T n(x, t)|
.
(3.34)
Grâce à (2.5) on obtient l’équivalent Lagrangien de (3.34) :
n(X(t, ξ),t) =
[∇ ξ X(t, ξ)] −T n 0 (ξ)
|[∇ ξ X(t, ξ)] −T n 0 (ξ)|
.
(3.35)
Notons au passage que nous retrouvons la formule (2.11).
Y (x, t) = ξ
x = X(t, ξ)
n 0 (ξ)
n(x, t)
Configuration initiale Ω 0
Configuration déformée Ωt
Γ 0
Γt
Fig. 3.2: Configuration initiale et déformée.
3.3.2 Un tenseur eulérien pour mesurer les
déformations surfaciques
On souhaite donc mesurer les déformations sur la surface Γ t . En s’appuyant
sur la formulation lagrangienne, plus naturelle dans ce contexte, on commence
par introduire la projection du tenseur des déformations sur le plan tangent :
M (X(t, ξ),t) := [∇ ξ X(t, ξ)][I − n 0 (ξ) ⊗ n 0 (ξ)].
(3.36)
M agit de la manière suivante : si v(ξ) un vecteur défini au point ξ ∈ Γ 0 ,
ce vecteur est tout d’abord projeté avec l’opérateur [I − n 0 (ξ) ⊗ n 0 (ξ)] en
un vecteur v τ (ξ) appartenant à T ξ Γ 0 , le plan tangent de Γ 0 en ξ. Puis le
vecteur v τ (ξ) est déformé avec X en le vecteur [∇ ξ X(t, ξ)]v τ (ξ) en X(t, ξ).
Remarquons que Mv est déjà dans T X(t,ξ) Γ t ,le plan tangent de Γ t en X(t, ξ).
En effet, en utilisant (3.35) et v τ (ξ) · n 0 (ξ) = 0, on a