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3 Interaction d’un fluide incompressible avec une membrane élastique
3.3 Membrane immergée : cas avec cisaillement
Jusqu’à présent, les surfaces immergées considérées ne réagissaient qu’à
une déformation engendrant un changement d’aire. C’est le cas par exemple
des vésicules phospholipidiques. Cependant, dans de nombreuses applications,
comme les globules rouges, la surface immergée présente aussi une résistance
au cisaillement dans son plan tangent, localement en chaque point. C’est une
difficulté pour les méthodes Level Set, car la dynamique d’une fonction capturant l’interface (3.31), par construction, ignore complètement la composante
tangentielle du champ de vitesse, puisque ∇ϕ est normal à l’interface. Pour
espérer capturer des déformations tangentielles, il est nécessaire de pouvoir
enregistrer le déplacement des points sur l’interface en utilisant des fonctions
Level Set supplémentaires. C’est ce que nous décrivons ci-dessous.
3.3.1 Approche Level Set pour les surfaces
Commençons par redonner quelques éléments de géométrie en lien avec les
méthodes Level Set. On considère une surface Γ 0 qui évolue dans un champ
de vitesses Eulérien u(x, t) et notons Γ t la surface au temps t. Cette surface
est représentée par une fonction level set ϕ : R 3 × R + −→ R
Γ t = {x ∈ R
3 , ϕ(x, t) = 0}.
On pose ϕ(·, 0) = ϕ 0 . Comme la surface évolue dans le champ de vitesse u on
a déjà vu que sa dynamique s’écrit
∂ t ϕ + u · ∇ϕ = 0.
(3.31)
En reprenant la notation Y pour les caractéristiques rétrogrades, on obtient
avec (2.4) que la solution de (3.31) (∂ t ϕ = ∂ t Y · ∇ϕ 0 et ∇ϕ = [∇Y ] T ∇ϕ 0 )
s’écrit explicitement comme
ϕ(x, t) = ϕ 0 (Y (x, t)).
(3.32)
Notons n 0 (ξ) la normale au point ξ ∈ Γ 0 dans la configuration de référence
et n(x, t) la normale au point x ∈ Γ t dans configuration déformée (voir la
Figure 3.2 qui reprend la Figure 2.1 en y ajoutant les normales). Rappelons
que ces normales sont données par
n(x, t) =
∇ϕ(x, t)
|∇ϕ(x, t)|
,
n 0 (ξ) =
∇ ξ ϕ 0 (ξ)
|∇ ξ ϕ 0 (ξ)|
.
(3.33)
La relation (3.32) permet d’obtenir ∇ϕ(x, t) = [∇Y (x, t)] T ∇ϕ 0 (Y (x, t)). Avec
(3.33) on peut donc écrire
3 Interaction d’un fluide incompressible avec une membrane élastique
3.3 Membrane immergée : cas avec cisaillement
Jusqu’à présent, les surfaces immergées considérées ne réagissaient qu’à
une déformation engendrant un changement d’aire. C’est le cas par exemple
des vésicules phospholipidiques. Cependant, dans de nombreuses applications,
comme les globules rouges, la surface immergée présente aussi une résistance
au cisaillement dans son plan tangent, localement en chaque point. C’est une
difficulté pour les méthodes Level Set, car la dynamique d’une fonction capturant l’interface (3.31), par construction, ignore complètement la composante
tangentielle du champ de vitesse, puisque ∇ϕ est normal à l’interface. Pour
espérer capturer des déformations tangentielles, il est nécessaire de pouvoir
enregistrer le déplacement des points sur l’interface en utilisant des fonctions
Level Set supplémentaires. C’est ce que nous décrivons ci-dessous.
3.3.1 Approche Level Set pour les surfaces
Commençons par redonner quelques éléments de géométrie en lien avec les
méthodes Level Set. On considère une surface Γ 0 qui évolue dans un champ
de vitesses Eulérien u(x, t) et notons Γ t la surface au temps t. Cette surface
est représentée par une fonction level set ϕ : R 3 × R + −→ R
Γ t = {x ∈ R
3 , ϕ(x, t) = 0}.
On pose ϕ(·, 0) = ϕ 0 . Comme la surface évolue dans le champ de vitesse u on
a déjà vu que sa dynamique s’écrit
∂ t ϕ + u · ∇ϕ = 0.
(3.31)
En reprenant la notation Y pour les caractéristiques rétrogrades, on obtient
avec (2.4) que la solution de (3.31) (∂ t ϕ = ∂ t Y · ∇ϕ 0 et ∇ϕ = [∇Y ] T ∇ϕ 0 )
s’écrit explicitement comme
ϕ(x, t) = ϕ 0 (Y (x, t)).
(3.32)
Notons n 0 (ξ) la normale au point ξ ∈ Γ 0 dans la configuration de référence
et n(x, t) la normale au point x ∈ Γ t dans configuration déformée (voir la
Figure 3.2 qui reprend la Figure 2.1 en y ajoutant les normales). Rappelons
que ces normales sont données par
n(x, t) =
∇ϕ(x, t)
|∇ϕ(x, t)|
,
n 0 (ξ) =
∇ ξ ϕ 0 (ξ)
|∇ ξ ϕ 0 (ξ)|
.
(3.33)
La relation (3.32) permet d’obtenir ∇ϕ(x, t) = [∇Y (x, t)] T ∇ϕ 0 (Y (x, t)). Avec
(3.33) on peut donc écrire