3.2 Membrane immergée : cas sans cisaillement
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Théorème 3.6. Soit Ω un ouvert borné connexe et régulier de R 3 . Soit
p > 3, et ϕ 0 ∈ W 2,p (Ω), tel que |∇ϕ 0 | ≥ α > 0 dans un voisinage de
{ϕ 0 = 0}, et u 0 ∈ W
1,p
0 (Ω) ∩ W 2,p (Ω), avec div u 0 = 0. Alors il existe
T ∗ > 0 ne dépendant que des données initiales tel qu’une solution de
(3.24), (3.25), (3.26) existe dans [0,T ∗ ] avec
ϕ ∈ L
∞
(0,T
∗
; W
2,p
(Ω)), ∇π ∈ L
p
(0,T
∗
; L
p
(Ω)),
u ∈ L
∞
(0,T
∗
; W
1,p
0 (Ω)) ∩ L
p
(0,T
∗
; W
2,p
(Ω)).
La démonstration est basée sur un argument de compacité. On construit
dans un premier temps une suite de solutions sur un problème plus simple
sur lequel on sait montrer l’existence de solutions. On introduit pour cela
un retard temporel dans la vitesse (méthode utilisée aussi dans [25]) et une
régularisation spatiale de la fonction level set. Le point délicat consiste à passer
à la limite dans le terme non linéaire de force élastique div(F (|∇ϕ|)∇ϕ ⊗ ∇ϕ).
Pour simplifier la présentation des idées, on choisit un fluide de Korteweg pour
lequel F = 1. Cette hypothèse n’est pas restrictive car l’important dans les
estimations réside dans le fait que le terme dans la divergence est non linéaire
en ∇ϕ. Regardons tout d’abord l’égalité d’énergie obtenue en multipliant
l’équation de quantité de mouvement par u et en intégrant
1
2
d
dt
(|u|
2
L 2 + |∇ϕ|
2
L 2 ) + μ|∇u|
2
L 2 = 0.
(3.30)
Cette égalité permet d’avoir des estimations H 1 sur ϕ ce qui va permettre
d’extraire des suites qui convergent faiblement dans H 1 . Cela ne permettra
cependant pas de passer à la limite dans les termes élastiques non linéaires.
Pour ce faire il faut plus de régularité et obtenir des suites telles que ∇ϕ n
converge fortement dans L ∞ . Il est donc nécessaire d’obtenir des estimations
d’ordre supérieur sur ϕ. L’espace H 1 ne s’injectant pas de manière compacte
dans L ∞ , il faudrait utiliser l’injection H 2 ⊂ L ∞ . Le cadre hilbertien demanderait donc de dériver plusieurs fois les équations sur la vitesse et la fonction
Level Set ce qui a peu de chances d’aboutir. L’idée est de se placer dans le
cadre non hilbertien avec l’utilisation de l’injection compacte W 1,p ⊂ L ∞
pour p > 3. On obtient les estimations voulues en dérivant seulement deux
fois l’équation de transport et en utilisant les estimations de Solonnikov [131]
sur le problème de Stokes dans L p .
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Théorème 3.6. Soit Ω un ouvert borné connexe et régulier de R 3 . Soit
p > 3, et ϕ 0 ∈ W 2,p (Ω), tel que |∇ϕ 0 | ≥ α > 0 dans un voisinage de
{ϕ 0 = 0}, et u 0 ∈ W
1,p
0 (Ω) ∩ W 2,p (Ω), avec div u 0 = 0. Alors il existe
T ∗ > 0 ne dépendant que des données initiales tel qu’une solution de
(3.24), (3.25), (3.26) existe dans [0,T ∗ ] avec
ϕ ∈ L
∞
(0,T
∗
; W
2,p
(Ω)), ∇π ∈ L
p
(0,T
∗
; L
p
(Ω)),
u ∈ L
∞
(0,T
∗
; W
1,p
0 (Ω)) ∩ L
p
(0,T
∗
; W
2,p
(Ω)).
La démonstration est basée sur un argument de compacité. On construit
dans un premier temps une suite de solutions sur un problème plus simple
sur lequel on sait montrer l’existence de solutions. On introduit pour cela
un retard temporel dans la vitesse (méthode utilisée aussi dans [25]) et une
régularisation spatiale de la fonction level set. Le point délicat consiste à passer
à la limite dans le terme non linéaire de force élastique div(F (|∇ϕ|)∇ϕ ⊗ ∇ϕ).
Pour simplifier la présentation des idées, on choisit un fluide de Korteweg pour
lequel F = 1. Cette hypothèse n’est pas restrictive car l’important dans les
estimations réside dans le fait que le terme dans la divergence est non linéaire
en ∇ϕ. Regardons tout d’abord l’égalité d’énergie obtenue en multipliant
l’équation de quantité de mouvement par u et en intégrant
1
2
d
dt
(|u|
2
L 2 + |∇ϕ|
2
L 2 ) + μ|∇u|
2
L 2 = 0.
(3.30)
Cette égalité permet d’avoir des estimations H 1 sur ϕ ce qui va permettre
d’extraire des suites qui convergent faiblement dans H 1 . Cela ne permettra
cependant pas de passer à la limite dans les termes élastiques non linéaires.
Pour ce faire il faut plus de régularité et obtenir des suites telles que ∇ϕ n
converge fortement dans L ∞ . Il est donc nécessaire d’obtenir des estimations
d’ordre supérieur sur ϕ. L’espace H 1 ne s’injectant pas de manière compacte
dans L ∞ , il faudrait utiliser l’injection H 2 ⊂ L ∞ . Le cadre hilbertien demanderait donc de dériver plusieurs fois les équations sur la vitesse et la fonction
Level Set ce qui a peu de chances d’aboutir. L’idée est de se placer dans le
cadre non hilbertien avec l’utilisation de l’injection compacte W 1,p ⊂ L ∞
pour p > 3. On obtient les estimations voulues en dérivant seulement deux
fois l’équation de transport et en utilisant les estimations de Solonnikov [131]
sur le problème de Stokes dans L p .