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3 Interaction d’un fluide incompressible avec une membrane élastique
σ = −pI + μ([∇u] + [∇u]
T
) + E
(|∇ϕ|)
∇ϕ ⊗ ∇ϕ
|∇ϕ|
1
ε
ζ
ϕ
ε
Cette formulation est utilisée dans [38] pour prouver l’existence d’une solution
à ce problème de couplage régularisé.
Pour exposer le principe de cette démonstration, on se place dans le cas = 1,
ρ 1 = ρ 2 , μ 1 = μ 2 et considère le modèle multiphysique introduit ci-dessus :
ρ(ϕ)(∂ t u + (u · ∇)u) − μΔu + ∇π = − div (Σ(ϕ, ∇ϕ)) ,
(3.24)
∂ t ϕ + u · ∇ϕ = 0,
(3.25)
div(u) = 0.
(3.26)
Le tenseur des contraintes Σ s’exprime en fonction de la loi de comportement
E de la membrane par
Σ(ϕ, ∇ϕ) =
E
(|∇ϕ|)
|∇ϕ|
ζ(ϕ)∇ϕ ⊗ ∇ϕ.
(3.27)
On se donne des conditions initiales sur u et ϕ
u(x, 0) = u 0 (x) , ϕ(x, 0) = ϕ 0 (x)
(3.28)
et des conditions aux limites de Dirichlet homogène pour u (le résultat s’étend
au cas de conditions aux limites périodiques) : u = 0 sur ∂Ω. Il n’y a donc pas
de condition aux limites pour ϕ dans l’équation de transport. On supposera
que
r → E
(r) ∈ C
1
([0, +∞)).
(3.29)
Par exemple le cas d’une réponse linéaire (le matériau est toujours géométriquement non linéaire) est donné par E (r) = λ(r − 1). Notons que la
formulation contient les fluides de type Korteweg [137] comme cas particulier,
avec E (r) = r, la fonction level set jouant le rôle de la densité. En effet si on
introduit dans ce cas une primitive Z de
√
ζ et qu’on pose ψ = Z(ϕ) on a
Σ(ϕ, ∇ϕ) = ζ(ϕ)∇ϕ ⊗ ∇ϕ = ∇ψ ⊗ ∇ψ.
La fonction ψ est toujours solution de l’équation de transport et comme
div(∇ψ ⊗ ∇ψ) = Δψ∇ψ + [D 2 ψ]∇ψ = Δψ∇ψ +
1
2 ∇|∇ψ| 2 , on obtient le terme
source de Korteweg usuel [137] (à un gradient près absorbé par la pression). 1
Le résultat d’existence suivant est démontré dans l’article [38] et la thèse
de Thomas Milcent [106] :
1. Les modèles de Korteweg sont souvent utilisés pour décrire des milieux fluides
soumis à des forces de capillarité interne [95].
3 Interaction d’un fluide incompressible avec une membrane élastique
σ = −pI + μ([∇u] + [∇u]
T
) + E
(|∇ϕ|)
∇ϕ ⊗ ∇ϕ
|∇ϕ|
1
ε
ζ
ϕ
ε
Cette formulation est utilisée dans [38] pour prouver l’existence d’une solution
à ce problème de couplage régularisé.
Pour exposer le principe de cette démonstration, on se place dans le cas = 1,
ρ 1 = ρ 2 , μ 1 = μ 2 et considère le modèle multiphysique introduit ci-dessus :
ρ(ϕ)(∂ t u + (u · ∇)u) − μΔu + ∇π = − div (Σ(ϕ, ∇ϕ)) ,
(3.24)
∂ t ϕ + u · ∇ϕ = 0,
(3.25)
div(u) = 0.
(3.26)
Le tenseur des contraintes Σ s’exprime en fonction de la loi de comportement
E de la membrane par
Σ(ϕ, ∇ϕ) =
E
(|∇ϕ|)
|∇ϕ|
ζ(ϕ)∇ϕ ⊗ ∇ϕ.
(3.27)
On se donne des conditions initiales sur u et ϕ
u(x, 0) = u 0 (x) , ϕ(x, 0) = ϕ 0 (x)
(3.28)
et des conditions aux limites de Dirichlet homogène pour u (le résultat s’étend
au cas de conditions aux limites périodiques) : u = 0 sur ∂Ω. Il n’y a donc pas
de condition aux limites pour ϕ dans l’équation de transport. On supposera
que
r → E
(r) ∈ C
1
([0, +∞)).
(3.29)
Par exemple le cas d’une réponse linéaire (le matériau est toujours géométriquement non linéaire) est donné par E (r) = λ(r − 1). Notons que la
formulation contient les fluides de type Korteweg [137] comme cas particulier,
avec E (r) = r, la fonction level set jouant le rôle de la densité. En effet si on
introduit dans ce cas une primitive Z de
√
ζ et qu’on pose ψ = Z(ϕ) on a
Σ(ϕ, ∇ϕ) = ζ(ϕ)∇ϕ ⊗ ∇ϕ = ∇ψ ⊗ ∇ψ.
La fonction ψ est toujours solution de l’équation de transport et comme
div(∇ψ ⊗ ∇ψ) = Δψ∇ψ + [D 2 ψ]∇ψ = Δψ∇ψ +
1
2 ∇|∇ψ| 2 , on obtient le terme
source de Korteweg usuel [137] (à un gradient près absorbé par la pression). 1
Le résultat d’existence suivant est démontré dans l’article [38] et la thèse
de Thomas Milcent [106] :
1. Les modèles de Korteweg sont souvent utilisés pour décrire des milieux fluides
soumis à des forces de capillarité interne [95].