3.2 Membrane immergée : cas sans cisaillement
65
div(A(H)n) = A(H)H + A
(H)∇H · n.
En utilisant les relations
∇ Γ (|∇ϕ|)
|∇ϕ|
= [∇n]n, div([∇n]n) = ∇H · n + H 2 − 2G
et ∇f · ([∇n]n) = −(∇(∇ Γ f )n) · n on obtient
B = div
1
|∇ϕ|
∇ Γ (A
(H(ϕ))|∇ϕ|)
= div(A
(H)[∇n]n) + div(∇ Γ (A
(H)))
= A
(H)(∇H · n + H
2
− 2G) + ∇(A
(H)) · ([∇n]n) + div(∇ Γ (A
(H)))
= A
(H)(∇H · n + H
2
− 2G) + Δ Γ (A
(H)).
On obtient finalement
F c (x, t) =
Δ Γ (A
(H)) + A
(H)(H
2
− 2G) − A(H)H
1
ε
ζ
ϕ
ε
∇ϕ.
Si A(r) = r 2 on obtient une force de courbure égale à 2Δ Γ H + H(H 2 − 4G)
dirigée suivant la normale. On retrouve le résultat classique de la dérivée
de la fonctionnelle de Willmore
H 2 ds mais on a utilisé ici une approche
volumique qui va nous permettre de l’implémenter, au même titre quel les
forces élastiques, comme un terme source dans les équations fluides et l’utiliser,
comme on le verra dans la section 3.6, pour trouver les formes d’équilibre des
vésicules.
Récemment, des schémas de type diffusion-redistanciation ont été mis en
oeuvre pour approcher numériquement cette force de courbure qui nécessite,
comme on le voit ci-dessus, une dérivée d’ordre 4 de la fonction Level Set. La
thèse d’Arnaud Sengers [122] étend les méthodes de diffusion-seuillage initiées
par Bence, Merriman et Osher [104] et de diffusion-redistanciation [57] au cas
où l’aire et le volume entouré doivent être conservés pendant la dynamique.
Pour plus de détails sur les calculs de dérivées de formes de fonctionnelles
définies sur des surfaces et dépendant de la normale et des courbures moyenne
et de Gauss on renvoie à la thèse de Thomas Milcent [106].
3.2.5 Existence de solutions et modèles de Korteweg
Pour utiliser des méthodes numériques de type éléments finis afin de discrétiser le problème de couplage membrane-fluide, il est commode de disposer
d’une forme variationnelle des forces élastiques et de courbure. Par ailleurs,
ces formes sont mieux adaptées à l’analyse mathématique qui s’intéresse à
prouver l’existence de solutions. On rappelle que la force élastique sous forme
divergence est donné par (3.16). De cette manière nous pouvons formuler le
problème de couplage fluide-structure sous la forme d’un écoulement de fluide
complexe dont le tenseur des contraintes a une partie fluide et une partie
élastique localisée au voisinage de la membrane :
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div(A(H)n) = A(H)H + A
(H)∇H · n.
En utilisant les relations
∇ Γ (|∇ϕ|)
|∇ϕ|
= [∇n]n, div([∇n]n) = ∇H · n + H 2 − 2G
et ∇f · ([∇n]n) = −(∇(∇ Γ f )n) · n on obtient
B = div
1
|∇ϕ|
∇ Γ (A
(H(ϕ))|∇ϕ|)
= div(A
(H)[∇n]n) + div(∇ Γ (A
(H)))
= A
(H)(∇H · n + H
2
− 2G) + ∇(A
(H)) · ([∇n]n) + div(∇ Γ (A
(H)))
= A
(H)(∇H · n + H
2
− 2G) + Δ Γ (A
(H)).
On obtient finalement
F c (x, t) =
Δ Γ (A
(H)) + A
(H)(H
2
− 2G) − A(H)H
1
ε
ζ
ϕ
ε
∇ϕ.
Si A(r) = r 2 on obtient une force de courbure égale à 2Δ Γ H + H(H 2 − 4G)
dirigée suivant la normale. On retrouve le résultat classique de la dérivée
de la fonctionnelle de Willmore
H 2 ds mais on a utilisé ici une approche
volumique qui va nous permettre de l’implémenter, au même titre quel les
forces élastiques, comme un terme source dans les équations fluides et l’utiliser,
comme on le verra dans la section 3.6, pour trouver les formes d’équilibre des
vésicules.
Récemment, des schémas de type diffusion-redistanciation ont été mis en
oeuvre pour approcher numériquement cette force de courbure qui nécessite,
comme on le voit ci-dessus, une dérivée d’ordre 4 de la fonction Level Set. La
thèse d’Arnaud Sengers [122] étend les méthodes de diffusion-seuillage initiées
par Bence, Merriman et Osher [104] et de diffusion-redistanciation [57] au cas
où l’aire et le volume entouré doivent être conservés pendant la dynamique.
Pour plus de détails sur les calculs de dérivées de formes de fonctionnelles
définies sur des surfaces et dépendant de la normale et des courbures moyenne
et de Gauss on renvoie à la thèse de Thomas Milcent [106].
3.2.5 Existence de solutions et modèles de Korteweg
Pour utiliser des méthodes numériques de type éléments finis afin de discrétiser le problème de couplage membrane-fluide, il est commode de disposer
d’une forme variationnelle des forces élastiques et de courbure. Par ailleurs,
ces formes sont mieux adaptées à l’analyse mathématique qui s’intéresse à
prouver l’existence de solutions. On rappelle que la force élastique sous forme
divergence est donné par (3.16). De cette manière nous pouvons formuler le
problème de couplage fluide-structure sous la forme d’un écoulement de fluide
complexe dont le tenseur des contraintes a une partie fluide et une partie
élastique localisée au voisinage de la membrane :