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3 Interaction d’un fluide incompressible avec une membrane élastique
où on rappelle que la courbure moyenne H et la courbure de Gauss G sont
définies par (1.9) et (1.10)
H = Tr(∇n) = div(n)
G = Tr(Cof(∇n)).
Le cas le plus standard correspond à A(r) = r 2 .
On rappelle également la définition des opérateurs surfaciques qui permettent de prendre en compte les variations d’un scalaire ou d’un champ de
vecteurs uniquement dans le plan tangent
∇ Γ f = ∇f − (∇f · n)n
div Γ (u) = div(u) − ([∇u]n) · n
et on note Δ Γ f = div Γ (∇ Γ f ).
En dérivant l’énergie E c par rapport au temps on obtient
∂ t E c (ϕ) =
Ω
A
(H(ϕ)) div
∇ Γ (∂ t ϕ)
|∇ϕ|
|∇ϕ|
1
ε
ζ
ϕ
ε
dx
+
Ω
A(H(ϕ))
1
ε
ζ
ϕ
ε
∇ϕ
|∇ϕ|
· ∇(∂ t ϕ) + A(H(ϕ))|∇ϕ|
1
ε 2 ζ
ϕ
ε
∂ t ϕ dx.
Les termes de la seconde ligne se combinent, puisqu’en intégrant le premier par
parties, le deuxième apparaît avec un signe opposé. En utilisant div(A(H)n) =
A(H)H + ∇(A(H)) · n, les termes restant se combinent pour donner
∂ t E c (ϕ) =
Ω
div
∇ Γ (∂ t ϕ)
|∇ϕ|
A
(H(ϕ))|∇ϕ|
1
ε
ζ
ϕ
ε
− div
A(H(ϕ))
∇ϕ
|∇ϕ|
1
ε
ζ
ϕ
ε
∂ t ϕ dx.
Compte tenu de ∇ Γ (∂ t ϕ) · ∇ϕ = 0 le premier terme s’intègre par parties en
−
Ω
∇
A
(H(ϕ))|∇ϕ|
·
∇ Γ (∂ t ϕ)
|∇ϕ|
1
ε
ζ
ϕ
ε
= −
Ω
∇ Γ
A
(H(ϕ))|∇ϕ|
·
∇(∂ t ϕ)
|∇ϕ|
1
ε
ζ
ϕ
ε
dx,
où on a utilisé la symétrie de l’opérateur ∇ Γ . En intégrant à nouveau par
parties on trouve finalement, en utilisant comme précédemment que la dérivée
de l’énergie est égale au signe près au travail des forces ∂ t E c (ϕ) = −
Ω F c (x, t) ·
udx,
F c (x, t) = div
−A(H(ϕ))
∇ϕ
|∇ϕ|
+
1
|∇ϕ|
∇ Γ (A
(H(ϕ))|∇ϕ|)
1
ε
ζ
ϕ
ε
∇ϕ
On va maintenant écrire cette force sous une autre forme, en utilisant uniquement des opérateurs surfaciques. On a pour le premier terme