3.2 Membrane immergée : cas sans cisaillement
63
On applique alors cette formule avec g(x, t) = f (Y (x, t))J(x, t)|∇ϕ| −1 (x, t),
où Y désignent les caractéristiques rétrogrades. On observe que
∂ t (gJ
−1
|∇ϕ|) + u · ∇(gJ
−1
|∇ϕ|) = ∂ t (f (Y )) + u · ∇(f (Y )) = 0
car Y étant solution de l’équation de transport (2.4), f (Y ) l’est également.
On a donc
d
dt
{ϕ(x,t)=0}
f (Y (x, t))J(x, t)|∇ϕ|
−1
(x, t) ds = 0,
ce qui, après intégration entre 0 et t, généralise la formule (3.9). Dans le cas
compressible on retrouve les résultats de [8, 23] qui expriment l’étirement
comme J −1 |∇ϕ|. On déduit finalement de ce qui précède la formulation Level
Set suivante pour l’énergie élastique :
E(ϕ) =
Ω
E(J
−1
|∇ϕ|)
1
ε
ζ
ϕ
ε
dx.
En dérivant cette énergie comme dans le cas incompressible on en déduit un
modèle Level Set pour l’interaction fluide-structure.
3.2.4 Prise en compte des forces de courbures
Dans de nombreux domaines, comme par exemple en biophysique pour
l’étude du comportement à l’équilibre ou dans un écoulement en cisaillement
de vésicules phospholipidiques, la surface immergée est en fait inextensible, et
l’énergie qui prévaut est une énergie de courbure. Des méthodes de type champ
de phase ont été développées dans la communauté de physique numérique
pour traiter ce problème[12, 13, 11, 100]. Ces méthodes consistent à définir
une fonction phase qui prend la valeur 1 à l’intérieur du volume entouré
par l’interface immergée, et 0 à l’extérieur, avec une zone de transition
d’épaisseur à contrôler. Différentes approches correspondent à diverses énergies
et stratégies pour ce contrôle, dont l’impact sur la dynamique simulée est
parfois difficile à quantifier. L’approche Level Set permet de proposer une
alternative intéressante à ces méthodes de champs de phase : l’interface est
vraiment l’hypersurface {ϕ = 0}, qui est solution d’une simple équation de
transport, et la régularisation n’est introduite dans le modèle qu’en second
membre des équations fluides.
D’après la proposition 1.10 une forme naturelle et générale pour les énergies
de courbure est donnée par la formule
E c (ϕ) =
Ω
A(H(ϕ))|∇ϕ|
1
ε
ζ
ϕ
ε
dx
63
On applique alors cette formule avec g(x, t) = f (Y (x, t))J(x, t)|∇ϕ| −1 (x, t),
où Y désignent les caractéristiques rétrogrades. On observe que
∂ t (gJ
−1
|∇ϕ|) + u · ∇(gJ
−1
|∇ϕ|) = ∂ t (f (Y )) + u · ∇(f (Y )) = 0
car Y étant solution de l’équation de transport (2.4), f (Y ) l’est également.
On a donc
d
dt
{ϕ(x,t)=0}
f (Y (x, t))J(x, t)|∇ϕ|
−1
(x, t) ds = 0,
ce qui, après intégration entre 0 et t, généralise la formule (3.9). Dans le cas
compressible on retrouve les résultats de [8, 23] qui expriment l’étirement
comme J −1 |∇ϕ|. On déduit finalement de ce qui précède la formulation Level
Set suivante pour l’énergie élastique :
E(ϕ) =
Ω
E(J
−1
|∇ϕ|)
1
ε
ζ
ϕ
ε
dx.
En dérivant cette énergie comme dans le cas incompressible on en déduit un
modèle Level Set pour l’interaction fluide-structure.
3.2.4 Prise en compte des forces de courbures
Dans de nombreux domaines, comme par exemple en biophysique pour
l’étude du comportement à l’équilibre ou dans un écoulement en cisaillement
de vésicules phospholipidiques, la surface immergée est en fait inextensible, et
l’énergie qui prévaut est une énergie de courbure. Des méthodes de type champ
de phase ont été développées dans la communauté de physique numérique
pour traiter ce problème[12, 13, 11, 100]. Ces méthodes consistent à définir
une fonction phase qui prend la valeur 1 à l’intérieur du volume entouré
par l’interface immergée, et 0 à l’extérieur, avec une zone de transition
d’épaisseur à contrôler. Différentes approches correspondent à diverses énergies
et stratégies pour ce contrôle, dont l’impact sur la dynamique simulée est
parfois difficile à quantifier. L’approche Level Set permet de proposer une
alternative intéressante à ces méthodes de champs de phase : l’interface est
vraiment l’hypersurface {ϕ = 0}, qui est solution d’une simple équation de
transport, et la régularisation n’est introduite dans le modèle qu’en second
membre des équations fluides.
D’après la proposition 1.10 une forme naturelle et générale pour les énergies
de courbure est donnée par la formule
E c (ϕ) =
Ω
A(H(ϕ))|∇ϕ|
1
ε
ζ
ϕ
ε
dx