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3 Interaction d’un fluide incompressible avec une membrane élastique
Proposition 3.5. Si ϕ est telle que |ϕ| > ε sur ∂Ω, nous avons
1
2
Ω
ρ(ϕ(x, T ))u
2
(x, T ) dx +
Ω
E(|∇ϕ|)
1
ε
ζ
ϕ
ε
dx
+
T
0
Ω
2μ(ϕ)D(u)
2 dxdt
=
1
2
Ω
ρ(ϕ 0 (x))u
2
0 (x) dx +
Ω
E(|∇ϕ 0 |)
1
ε
ζ
ϕ 0
ε
dx. (3.23)
Ce principe de conservation d’énergie montre que la régularisation de la force
portée par la fonction Level Set n’induit pas de dissipation d’énergie au cours
du temps. Un résultat d’existence de solutions pour le système (3.20-3.22) est
esquissé au paragraphe 3.2.5. La démonstration complète de ce résultat est
donnée dans [38].
3.2.3 Généralisation aux écoulements compressibles
Dans ce qui précède, la représentation de l’étirement d’une surface à
partir du gradient d’une fonction Level Set qui la représente utilise de manière
essentielle l’incompressibilité de l’écoulement. Une généralisation de la méthode
aux écoulements compressibles a été proposée dans les références [8, 23].
Pour prendre en compte les variations de volume, repartons de la formule
de dérivation de Reynolds pour les surfaces. Pour une fonction g de classe C 1 ,
d
dt
{ϕ(x,t)=0}
g(x, t) ds =
{ϕ(x,t)=0}
∂ t g + div(gu) − g[∇u]n · nds.
D’après (2.7) le jacobien eulérien J(x, t) vérifie une équation de conservation,
donc son inverse est tel que ∂ t (J −1 ) + u · ∇J −1 = J −1 div u. On obtient par
conséquent en utilisant (3.10)
div(u) − [∇u]n · n =
J
|∇ϕ|
∂ t (J
−1
|∇ϕ|) + u · ∇(J
−1
|∇ϕ|)
.
Il en découle
d
dt
{ϕ(x,t)=0}
g(x, t) ds
=
{ϕ(x,t)=0}
∂ t (gJ
−1
|∇ϕ|) + u · ∇(gJ
−1
|∇ϕ|)
J
|∇ϕ|
ds.