3.2 Membrane immergée : cas sans cisaillement
61
−λH(ϕ)n|∇ϕ|
1
ε
ζ
ϕ
ε
≈ −λH(ϕ)nδ {ϕ=0} .
On peut maintenant écrire un modèle Level Set complet pour le couplage
fluide-structure dans le cas considéré dans ce chapitre. Dans toute la suite on
supposera la msse surfacique initialement constante le long de la membrane,
et notée m.
On commence par considérer une fonction de Heaviside régularisée permettant de repérer les régions définies par la fonction Level Set et d’y assigner
des densités éventuellement différentes ρ 1 et ρ 2 . On pose H(r) =
r
−∞
ζ(α)dα.
On a H(r) = 0 pour r < −1, et H(r) = 1 pour r > 1 (notons qu’il est possible
bien sur de définir d’autres régularisations de la fonction de Heaviside). On
écrit
ρ(ϕ) = ρ 1 + H
ϕ
ε
(ρ 2 − ρ 1 ) + m
1
ε
ζ
ϕ
ε
(3.19)
et
μ(ϕ) = μ 1 + H
ϕ
ε
(μ 2 − μ 1 )
On obtient alors le modèle (écrit ici pour f = 0) : Trouver (u, ϕ) solution sur
Ω×]0,T [ de
ρ(ϕ)(∂ t u + u · ∇u) − div(2μ(ϕ)D(u)) + ∇p = F (x, t),
(3.20)
div u = 0,
(3.21)
∂ t ϕ + u · ∇ϕ = 0,
(3.22)
où la force F est donnée par (3.16), plus naturelle dans une formulation
variationnelle, ou (3.18).
Il est à noter que ρ(ϕ) donné par l’expression (3.19) vérifie aussi l’équation
de transport donc de conservation car div u = 0. La formule (3.19) traduit
aussi que la masse surfacique de la membrane évolue de manière inversement
proportionnelle à son étirement, ce qui est attendu.
Nous avons donc modélisé l’interaction d’un fluide avec une membrane élastique comme l’écoulement d’un fluide complexe dont le tenseur des contraintes
est modifié au voisinage de la surface. Ce modèle est à rapprocher de celui
des fluides de Korteweg [137] et c’est d’ailleurs à partir de cette remarque
que nous pourrons attaquer la question de l’existence d’une solution à ce
problème.
Un résultat important est l’égalité d’énergie suivante, qui suit d’une part
de la conservation de la masse que nous venons d’évoquer, et d’autre part du
fait que la force élastique est construite par dérivation d’un potentiel :
61
−λH(ϕ)n|∇ϕ|
1
ε
ζ
ϕ
ε
≈ −λH(ϕ)nδ {ϕ=0} .
On peut maintenant écrire un modèle Level Set complet pour le couplage
fluide-structure dans le cas considéré dans ce chapitre. Dans toute la suite on
supposera la msse surfacique initialement constante le long de la membrane,
et notée m.
On commence par considérer une fonction de Heaviside régularisée permettant de repérer les régions définies par la fonction Level Set et d’y assigner
des densités éventuellement différentes ρ 1 et ρ 2 . On pose H(r) =
r
−∞
ζ(α)dα.
On a H(r) = 0 pour r < −1, et H(r) = 1 pour r > 1 (notons qu’il est possible
bien sur de définir d’autres régularisations de la fonction de Heaviside). On
écrit
ρ(ϕ) = ρ 1 + H
ϕ
ε
(ρ 2 − ρ 1 ) + m
1
ε
ζ
ϕ
ε
(3.19)
et
μ(ϕ) = μ 1 + H
ϕ
ε
(μ 2 − μ 1 )
On obtient alors le modèle (écrit ici pour f = 0) : Trouver (u, ϕ) solution sur
Ω×]0,T [ de
ρ(ϕ)(∂ t u + u · ∇u) − div(2μ(ϕ)D(u)) + ∇p = F (x, t),
(3.20)
div u = 0,
(3.21)
∂ t ϕ + u · ∇ϕ = 0,
(3.22)
où la force F est donnée par (3.16), plus naturelle dans une formulation
variationnelle, ou (3.18).
Il est à noter que ρ(ϕ) donné par l’expression (3.19) vérifie aussi l’équation
de transport donc de conservation car div u = 0. La formule (3.19) traduit
aussi que la masse surfacique de la membrane évolue de manière inversement
proportionnelle à son étirement, ce qui est attendu.
Nous avons donc modélisé l’interaction d’un fluide avec une membrane élastique comme l’écoulement d’un fluide complexe dont le tenseur des contraintes
est modifié au voisinage de la surface. Ce modèle est à rapprocher de celui
des fluides de Korteweg [137] et c’est d’ailleurs à partir de cette remarque
que nous pourrons attaquer la question de l’existence d’une solution à ce
problème.
Un résultat important est l’égalité d’énergie suivante, qui suit d’une part
de la conservation de la masse que nous venons d’évoquer, et d’autre part du
fait que la force élastique est construite par dérivation d’un potentiel :