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3 Interaction d’un fluide incompressible avec une membrane élastique
En intégrant le deuxième terme par parties (l’intégrale sur ∂Ω s’annule car
ζ(
ϕ
ε ) = 0 sur ∂Ω)
∂ t E = −
Ω
u · ∇(E(|∇ϕ|))
1
ε
ζ
ϕ
ε
− div
E
(|∇ϕ|)|∇ϕ|n ⊗ n
1
ε
ζ
ϕ
ε
· u
+ E(|∇ϕ|)u · ∇
1
ε
ζ
ϕ
ε
dx.
En regroupant le premier et le dernier terme et en utilisant (3.14) on obtient
l’expression (3.15).
Les termes en gradient peuvent être absorbés dans le terme de pression des
équations de Navier-Stokes incompressibles. On peut donc réécrire la force
sous la forme
F = div
E
(|∇ϕ|)|∇ϕ|(I − n ⊗ n)
1
ε
ζ
ϕ
ε
.
(3.16)
Il peut être intéressant d’exprimer cette force selon les directions normales et tangentielles à la surface. En développant la divergence et en
utilisant le fait que (I − n ⊗ n)∇ϕ = 0 on obtient F = A
1
ε ζ
ϕ
ε
avec A =
div (E (|∇ϕ|)|∇ϕ|(I − n ⊗ n)). On obtient en développant
A = −E
(|∇ϕ|)|∇ϕ| div(n ⊗ n) + ∇ Γ
E
(|∇ϕ|)|∇ϕ|
(3.17)
où l’on rappelle la définition ∇ Γ f = ∇f − (∇f · n)n qui permet de calculer
les variations d’une fonction uniquement dans le plan tangent défini par
l’orthogonal de la normale n. Il est important de noter que cet opérateur est
défini sur R 3 et pas seulement sur la ligne de niveau 0 de ϕ. Si x ∈ R 3 est sur
une autre ligne de niveau de ϕ alors la gradient surfacique en ce point est la
projection du gradient classique sur le plan tangent défini sur cette ligne de
niveau. En utilisant les relations
div(n ⊗ n) = Hn + [∇n]n , [∇n]n =
∇ Γ |∇ϕ|
|∇ϕ|
,
et en ajoutant le terme en gradient dans la pression on obtient finalement
F =
∇ Γ (E
(|∇ϕ|)) − E
(|∇ϕ|)H(ϕ)n
|∇ϕ|
1
ε
ζ
ϕ
ε
,
(3.18)
où n =
∇ϕ
|∇ϕ|
et H(ϕ) = div
∇ϕ
|∇ϕ|
désigne la courbure moyenne.
On remarque que, comme dans la formulation lagrangienne de Peskin, la
courbure intervient dans la composante normale alors que seul l’étirement
joue un rôle dans la direction tangentielle. Dans la cas particulier où seule une
énergie de tension de surface est considérée, ce qui correspond à E (r) = λ, le
terme tangentiel s’annule et nous retrouvons la force de Laplace
3 Interaction d’un fluide incompressible avec une membrane élastique
En intégrant le deuxième terme par parties (l’intégrale sur ∂Ω s’annule car
ζ(
ϕ
ε ) = 0 sur ∂Ω)
∂ t E = −
Ω
u · ∇(E(|∇ϕ|))
1
ε
ζ
ϕ
ε
− div
E
(|∇ϕ|)|∇ϕ|n ⊗ n
1
ε
ζ
ϕ
ε
· u
+ E(|∇ϕ|)u · ∇
1
ε
ζ
ϕ
ε
dx.
En regroupant le premier et le dernier terme et en utilisant (3.14) on obtient
l’expression (3.15).
Les termes en gradient peuvent être absorbés dans le terme de pression des
équations de Navier-Stokes incompressibles. On peut donc réécrire la force
sous la forme
F = div
E
(|∇ϕ|)|∇ϕ|(I − n ⊗ n)
1
ε
ζ
ϕ
ε
.
(3.16)
Il peut être intéressant d’exprimer cette force selon les directions normales et tangentielles à la surface. En développant la divergence et en
utilisant le fait que (I − n ⊗ n)∇ϕ = 0 on obtient F = A
1
ε ζ
ϕ
ε
avec A =
div (E (|∇ϕ|)|∇ϕ|(I − n ⊗ n)). On obtient en développant
A = −E
(|∇ϕ|)|∇ϕ| div(n ⊗ n) + ∇ Γ
E
(|∇ϕ|)|∇ϕ|
(3.17)
où l’on rappelle la définition ∇ Γ f = ∇f − (∇f · n)n qui permet de calculer
les variations d’une fonction uniquement dans le plan tangent défini par
l’orthogonal de la normale n. Il est important de noter que cet opérateur est
défini sur R 3 et pas seulement sur la ligne de niveau 0 de ϕ. Si x ∈ R 3 est sur
une autre ligne de niveau de ϕ alors la gradient surfacique en ce point est la
projection du gradient classique sur le plan tangent défini sur cette ligne de
niveau. En utilisant les relations
div(n ⊗ n) = Hn + [∇n]n , [∇n]n =
∇ Γ |∇ϕ|
|∇ϕ|
,
et en ajoutant le terme en gradient dans la pression on obtient finalement
F =
∇ Γ (E
(|∇ϕ|)) − E
(|∇ϕ|)H(ϕ)n
|∇ϕ|
1
ε
ζ
ϕ
ε
,
(3.18)
où n =
∇ϕ
|∇ϕ|
et H(ϕ) = div
∇ϕ
|∇ϕ|
désigne la courbure moyenne.
On remarque que, comme dans la formulation lagrangienne de Peskin, la
courbure intervient dans la composante normale alors que seul l’étirement
joue un rôle dans la direction tangentielle. Dans la cas particulier où seule une
énergie de tension de surface est considérée, ce qui correspond à E (r) = λ, le
terme tangentiel s’annule et nous retrouvons la force de Laplace