3.2 Membrane immergée : cas sans cisaillement
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3.2.2 Formulation Level Set de l’énergie élastique et
couplage fluide-structure dans le cas
incompressible
A partir de l’expression de l’étirement donnée par la proposition 3.2 et
suivant la proposition 1.10, il est naturel d’introduire l’énergie élastique
régularisée suivante :
E(ϕ) =
Ω
E(|∇ϕ|)
1
ε
ζ
ϕ
ε
dx,
(3.12)
où E est une loi de comportement. La fonction r → E (r) décrit la relation,
éventuellement non linéaire, entre les déformations et les contraintes au sein
de la structure élastique. Par exemple, dans le cas d’une simple goutte d’un
fluide dans un autre, l’énergie est telle que E(r) = λr où λ est le coefficient
de tension de surface, donc E (r) = λ. Pour une membrane présentant une
élasticité de changement d’aire, nous utilisons une loi quadratique
E(r) =
λ
2
(r − 1)
2
(3.13)
ce qui correspond à E (r) = λ(r − 1).
Théorème 3.4. La variation temporelle de E, en utilisant le principe
des travaux virtuels vérifie
∂ t E = −
Ω
F · udx
(3.14)
et correspond à la force suivante :
F = ∇
E(|∇ϕ|)
1
ε
ζ
ϕ
ε
−div
E
(|∇ϕ|)|∇ϕ|n ⊗ n
1
ε
ζ
ϕ
ε
. (3.15)
où l’on rappelle que la normale est définie par n =
∇ϕ
|∇ϕ|
.
Preuve. En dérivant par rapport à t puis en utilisant l’équation de transport
sur ϕ et (3.10) on obtient la relation suivante
∂ t E =
Ω
E
(|∇ϕ|)(−u · ∇|∇ϕ| − [∇u] : |∇ϕ|n ⊗ n)
1
ε
ζ
ϕ
ε
dx
+
Ω
E(|∇ϕ|)
1
ε 2 ζ
ϕ
ε
(−u · ∇ϕ) dx.