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3 Interaction d’un fluide incompressible avec une membrane élastique
ce qui revient après intégration entre 0 et t à la formule (3.9).
Les résultats ci-dessus peuvent s’interpréter sur des représentations paramétriques des courbes ou surfaces.
En dimension 2, rappelons qu’on s’est donné un paramétrage θ ∈ [0,M] →
γ(0,θ) ∈ R 2 de Γ 0
M
0
f (γ(0,θ))|∇ϕ 0 |
−1
(γ(0,θ))|∂ θ γ|(0,θ)dθ
=
M
0
f (γ(0,θ))|∇ϕ|
−1
(γ(t, θ),t)|∂ θ γ|(t, θ) dθ,
pour toute fonction f continue et à support compact. D’où
|∇ϕ|(γ(t, θ),t)
|∇ϕ 0 |(γ(0,θ))
=
|∂ θ γ(t, θ)|
|∂ θ γ(0,θ)|
.
En dimension 3, si θ = (θ 1 ,θ 2 ) ∈ U → γ(t, θ 1 ,θ 2 ) ∈ R 3 est un (morceau
de)paramétrage de Γ t , alors, comme là encore Y (γ(t, θ),t) = γ(0,θ) on a
ω
f (γ(0,θ))|∇ϕ 0 |
−1
(γ(0,θ))|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|(0,θ)dθ
=
ω
f (γ(0,θ))|∇ϕ|
−1
(γ(t, θ),t)|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|(t, θ)dθ,
d’où
|∇ϕ|(γ(t, θ),t)
|∇ϕ 0 |(γ(0,θ))
=
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|(t, θ)
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|(0,θ)
.
En pratique, on construit ϕ 0 d’une part de sorte que sa ligne de niveau zéro
représente Γ 0 , et d’autre part de manière à ce que
|∇ϕ 0 |(γ(0,θ)) =
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|(0,θ)
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|(θ)
,
ce qui correspond à la variation d’aire entre la configuration initiale et la
configuration au repos et signifie que ϕ0 transcrit l’étirement initial de la
surface. On a alors
|∇ϕ|(γ(t, θ),t) =
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|(t, θ)
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|(θ)
.
(3.11)
Si, par exemple, la variation d’aire initiale ne dépend pas de θ, il suffit
d’initialiser ϕ 0 à la distance signée à la courbe multipliée par cet étirement.