3.2 Membrane immergée : cas sans cisaillement
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Preuve. L’hypothèse (H ϕ ) entraîne d’après le lemme précédent que l’application
s →
{ϕ 0 =s}
f (ξ)|∇ϕ 0 |
−1
(ξ) ds 0 (ξ)
est continue. Donc, d’après le lemme 3.1,
{ϕ 0 (ξ)=0}
f (ξ)|∇ϕ 0 |
−1
(ξ) ds 0 (ξ)
= lim
η→0
1
η
η
2
−
η
2
{ϕ 0 =ν}
f (ξ)|∇ϕ 0 |
−1
(ξ) ds 0 (ξ) dν = lim
η→0
1
η
{|ϕ 0 |<
η
2 }
f (ξ) dξ.
On effectue le changement de variables ξ = Y (x, t) dont le jacobien J(x, t)
vaut 1 car div u = 0. Comme ϕ vérifie l’équation de transport on a ϕ 0 (Y (x, t)) =
ϕ(x, t) et donc
{ϕ 0 (ξ)=0}
f (ξ) ds 0 (ξ) = lim
η→0
1
η
{|ϕ(x,t)|<
η
2 }
f (Y (x, t)) dx,
ce qui donne le résultat annoncé d’après le lemme 3.1.
Remarque 3.3. Une autre démonstration de la proposition précédente est
possible en utilisant la définition des caractéristiques rétrogrades Y (voir
remarque 2.4) et la formule de dérivation de Reynolds pour les surfaces 2.16.
En effet celle-ci s’écrit, pour une fonction g de classe C 1 , et u vérifiant div u = 0,
d
dt
{ϕ(x,t)=0}
g(x, t) ds =
{ϕ(x,t)=0}
∂ t g + u · ∇g − g[∇u]n · nds;
et on a, en prenant le gradient de l’équation de transport sur ϕ,
−
1
|∇ϕ|
(∂ t |∇ϕ| + u · ∇|∇ϕ|) = [∇u]
∇ϕ
|∇ϕ|
·
∇ϕ
|∇ϕ|
= [∇u]n · n.
(3.10)
En regroupant les termes on a donc
d
dt
{ϕ(x,t)=0}
g(x, t) ds =
{ϕ(x,t)=0}
(∂ t (g|∇ϕ|) + u · ∇(g|∇ϕ|))
1
|∇ϕ|
ds.
On applique alors cette formule avec g(x, t) = f (Y (x, t))|∇ϕ| −1 (x, t), en remarquant que, d’après (2.4)
∂ t (f (Y )) + u · ∇(f (Y )) = ∇f · ∂ t Y + u · ([∇Y ]
T
∇f ) = ∇f · (∂ t Y + u · ∇Y ) = 0.
On obtient donc
d
dt
{ϕ(x,t)=0}
f (Y (x, t))|∇ϕ|
−1
(x, t) ds = 0,