56
3 Interaction d’un fluide incompressible avec une membrane élastique
{|ϕ(x)|<η}
g(x) dx =
{ϕ(x)>−η}
g(x) dx −
{ϕ(x)>η}
g(x) dx
=
−η
η
d
dν
{ϕ>ν}
g(x) dx
=
η
−η
{ϕ=ν}
g|∇ϕ|
−1 ds.
En faisant l’hypothèse de régularité suivante sur les lignes de niveau de ϕ,
(H ϕ ) ∀t ∈ [0,T ], ∀f ∈ C c (R
n
),
ν →
{|ϕ(x,t)|<ν}
f (x) dx est C
1 au voisinage de ν = 0,
nous avons le résultat suivant :
Proposition 3.2. Soit u : R d × [0,T ] → R d de classe C 1 avec div u = 0
et ϕ solution C 1 de ∂ t ϕ+u·∇ϕ = 0, ϕ = ϕ 0 avec |∇ϕ| ≥ α > 0 et vérifiant
(H ϕ ). Alors pour toute fonction f continue à support compact,
{ϕ 0 (ξ)=0}
f (ξ)|∇ϕ 0 |
−1
(ξ) ds 0 (ξ) =
{ϕ(x,t)=0}
f (Y (x, t))|∇ϕ|
−1
(x, t) ds(x).
(3.9)
Autrement dit |∇ϕ|/|∇ϕ 0 | représente la variation de mesure surfacique
de Γ t par rapport à Γ 0 (voir figure 3.1).
Fig. 3.1: Lorsqu’un champ de vitesse incompressible a pour effet d’étirer les
lignes (resp. surfaces) de niveau, alors celles-ci se resserrent nécessairement
par conservation du volume. L’accroissement de la norme du gradient de la
fonction Level Set mesure exactement cet étirement.