3.2 Membrane immergée : cas sans cisaillement
55
également aux effets de cisaillement. Nous évoquons ensuite les questions
de stabilité liées aux discrétisation en temps des termes de couplage. Le
chapitre se conclut par des illustrations numériques et des exemples de codes
réalisés sous le logiciel FreeFEM++ permettant d’expérimenter simplement
les méthodes.
3.2 Membrane immergée : cas sans cisaillement
3.2.1 Formulation Level Set de la déformation
élastique d’une hypersurface immergée dans un
fluide incompressible
Nous allons montrer que lors du transport d’une fonction Level Set par
un champ de vitesse incompressible, la norme du gradient de la solution
de l’équation de transport contient l’information sur la variation de mesure
des surfaces ou lignes de niveau de celle-ci. Une démonstration utilisant une
représentation paramétrique des surfaces est donnée dans [35]. Nous reprenons
ici une démonstration intrinsèque tirée de [36].
Commençons par rappeler la formule de la co-aire :
Lemme 3.1. Soit ϕ : R d → R lipschitzienne sur R d et g : R d → R
intégrable. On suppose qu’il existe η 0 > 0 tel que inf ess |ϕ|<η 0 |∇ϕ| > 0.
Alors pour η ∈]0,η 0 [,
{|ϕ(x)|<η}
g(x) dx =
η
−η
{ϕ(x)=ν}
g(x)|∇ϕ|
−1 dsdν.
Cette formule est assez naturelle car le volume |ϕ| < η est calculé en intégrant
l’aire de la surface ϕ = ν multiplié par un facteur |∇ϕ| −1 qui correspond à
l’espacement local entre les lignes de niveau de ϕ.
Preuve. Dans [58], proposition 3 page 118, il est montré sous les hypothèses
du lemme que
d
dν
{ϕ>ν}
g(x) dx
= −
{ϕ=ν}
g|∇ϕ|
−1 ds
pour presque tout ν.
Le résultat annoncé s’en déduit facilement :
55
également aux effets de cisaillement. Nous évoquons ensuite les questions
de stabilité liées aux discrétisation en temps des termes de couplage. Le
chapitre se conclut par des illustrations numériques et des exemples de codes
réalisés sous le logiciel FreeFEM++ permettant d’expérimenter simplement
les méthodes.
3.2 Membrane immergée : cas sans cisaillement
3.2.1 Formulation Level Set de la déformation
élastique d’une hypersurface immergée dans un
fluide incompressible
Nous allons montrer que lors du transport d’une fonction Level Set par
un champ de vitesse incompressible, la norme du gradient de la solution
de l’équation de transport contient l’information sur la variation de mesure
des surfaces ou lignes de niveau de celle-ci. Une démonstration utilisant une
représentation paramétrique des surfaces est donnée dans [35]. Nous reprenons
ici une démonstration intrinsèque tirée de [36].
Commençons par rappeler la formule de la co-aire :
Lemme 3.1. Soit ϕ : R d → R lipschitzienne sur R d et g : R d → R
intégrable. On suppose qu’il existe η 0 > 0 tel que inf ess |ϕ|<η 0 |∇ϕ| > 0.
Alors pour η ∈]0,η 0 [,
{|ϕ(x)|<η}
g(x) dx =
η
−η
{ϕ(x)=ν}
g(x)|∇ϕ|
−1 dsdν.
Cette formule est assez naturelle car le volume |ϕ| < η est calculé en intégrant
l’aire de la surface ϕ = ν multiplié par un facteur |∇ϕ| −1 qui correspond à
l’espacement local entre les lignes de niveau de ϕ.
Preuve. Dans [58], proposition 3 page 118, il est montré sous les hypothèses
du lemme que
d
dν
{ϕ>ν}
g(x) dx
= −
{ϕ=ν}
g|∇ϕ|
−1 ds
pour presque tout ν.
Le résultat annoncé s’en déduit facilement :