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3 Interaction d’un fluide incompressible avec une membrane élastique
M (x, t) =
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|
m(θ, t)δ Γ t = m(θ, t)δ Γ t ,
avec x = γ(θ, t).
Par exemple, pour une membrane élastique ne réagissant qu’au changement
d’aire, on considère l’énergie
E[γ] =
U
E
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|
dθ,
(3.7)
où r → E(r) est une loi de comportement donnée, un exemple typique étant
de la forme E(r) = k max(r − 1, 0) 2 , pour une raideur k > 0. Alors on montre
en dérivant l’énergie et en appliquant le principe des travaux virtuels, que
F (θ, t) = ∇ Γ t T (θ) − T (θ)κN (θ),
(3.8)
où
T (θ) = E
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|
1
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|
.
La méthode de frontière immergée dans cette formulation d’origine peut
être implémentée pour garantir l’ordre 2 dans le cas d’interfaces épaisses, mais
l’ordre 1 dans le cas d’interfaces sans épaisseur [83]. Des études de stabilité
ont été proposées [15, 14, 133, 132].
La méthode de frontière immergée que nous venons de décrire est très
simple et intuitive. Cependant, le passage incessant entre les coordonnées
eulériennes et lagrangiennes induit des problèmes de conservation de volume.
En effet l’interpolation du champ de vitesse n’est pas à divergence nulle, donc
l’advection des marqueurs avec ce champ peut produire des changements de
volume. C’est un point faible connu de la méthode et il a été étudié dans
[115, 97, 96], avec des modification qui sacrifient en partie la simplicité de la
méthode. Le but premier de la formulation totalement eulérienne introduite
dans [35, 36] était de conserver la simplicité de la méthode en proposant une
localisation eulérienne de la membrane qui évite le va-et-vient entre les deux
systèmes de coordonnées.
Notons qu’une formulation eulérienne permet de s’affranchir des difficultés
de paramétrisation des objets fermés et de prendre en compte facilement des
valeurs de viscosité variables, contrairement aux méthodes IBM. C’est un
point important par exemple dans le cas des modèles de cellules biologiques
qui sont souvent considérés avec un contraste de viscosité entre l’intérieur et
l’extérieur de la cellule, la viscosité plus importante à l’intérieur étant une
manière simplifiée de rendre compte de la présence de matériel biologique
dans la cellule.
Dans ce qui suit nous décrivons les modèles Level Set tout d’abord dans le
cas le plus simple des surfaces élastiques répondant uniquement à une variation
d’aire. Nous considérons dans un deuxième temps le cas de surfaces sensibles
3 Interaction d’un fluide incompressible avec une membrane élastique
M (x, t) =
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|
m(θ, t)δ Γ t = m(θ, t)δ Γ t ,
avec x = γ(θ, t).
Par exemple, pour une membrane élastique ne réagissant qu’au changement
d’aire, on considère l’énergie
E[γ] =
U
E
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|
dθ,
(3.7)
où r → E(r) est une loi de comportement donnée, un exemple typique étant
de la forme E(r) = k max(r − 1, 0) 2 , pour une raideur k > 0. Alors on montre
en dérivant l’énergie et en appliquant le principe des travaux virtuels, que
F (θ, t) = ∇ Γ t T (θ) − T (θ)κN (θ),
(3.8)
où
T (θ) = E
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|
1
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|
.
La méthode de frontière immergée dans cette formulation d’origine peut
être implémentée pour garantir l’ordre 2 dans le cas d’interfaces épaisses, mais
l’ordre 1 dans le cas d’interfaces sans épaisseur [83]. Des études de stabilité
ont été proposées [15, 14, 133, 132].
La méthode de frontière immergée que nous venons de décrire est très
simple et intuitive. Cependant, le passage incessant entre les coordonnées
eulériennes et lagrangiennes induit des problèmes de conservation de volume.
En effet l’interpolation du champ de vitesse n’est pas à divergence nulle, donc
l’advection des marqueurs avec ce champ peut produire des changements de
volume. C’est un point faible connu de la méthode et il a été étudié dans
[115, 97, 96], avec des modification qui sacrifient en partie la simplicité de la
méthode. Le but premier de la formulation totalement eulérienne introduite
dans [35, 36] était de conserver la simplicité de la méthode en proposant une
localisation eulérienne de la membrane qui évite le va-et-vient entre les deux
systèmes de coordonnées.
Notons qu’une formulation eulérienne permet de s’affranchir des difficultés
de paramétrisation des objets fermés et de prendre en compte facilement des
valeurs de viscosité variables, contrairement aux méthodes IBM. C’est un
point important par exemple dans le cas des modèles de cellules biologiques
qui sont souvent considérés avec un contraste de viscosité entre l’intérieur et
l’extérieur de la cellule, la viscosité plus importante à l’intérieur étant une
manière simplifiée de rendre compte de la présence de matériel biologique
dans la cellule.
Dans ce qui suit nous décrivons les modèles Level Set tout d’abord dans le
cas le plus simple des surfaces élastiques répondant uniquement à une variation
d’aire. Nous considérons dans un deuxième temps le cas de surfaces sensibles