3.1 De la méthode de frontière immergée aux méthodes Level Set
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Méthode de frontière immergée : Description eulérienne de la
vitesse du milieu continu et lagrangienne de la structure élastique
immergée (constituée d’une famille de fibres élastiques), interpolée
sur le domaine eulérien.
Un champ de vitesse eulérien (x, t) ∈ Ω × [0,T ] → u(x, t).
(θ, t) ∈ U × [0,T ] → γ(θ, t) la position des points de la structure
élastique Γ t .
La densité de forces de la configuration déformée par rapport à
la mesure de surface dans la configuration de réference est une
fonction connue F (θ, t) qui s’exprime usuellement en fonction
des dérivées partielles de γ et de γ par une expression F[γ(θ, t)].
La masse surfacique dans la configuration de référence est une
fonction connue m(θ, t).
Les équations du mouvement (couplage par contrainte) :
(ρ f + M )(∂ t u + u · ∇u) − νΔu + ∇p = f
(3.2)
div u = 0
(3.3)
f (x, t) =
U
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|F (θ, t)δ(x − γ(θ, t))dθ
(3.4)
M (x, t) =
U
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|m(θ, t)δ(x − γ(θ, t))dθ
(3.5)
∂ t γ = u(γ(θ, t),t) =
Ω
u(x, t)δ(x − γ(θ, t))dx
(3.6)
L’équation (3.4) convertit la force lagrangienne dans le domaine eulérien ;
l’équation (3.6) convertit le champ de vitesse eulérien en un vitesse sur les
points lagrangiens de la structure. Si on écrit la signification précise de (3.4)
en considérant une fonction test ψ : Ω → R et en intégrant sur Ω on a
Ω
f (x, t)ψ(x, t)dx =
U
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|F (θ, t)
Ω
δ(x − γ(θ, t))ψ(x, t)dxdθ
=
U
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|F (θ, t)ψ(γ(θ, t),t)dθ =
Γ t
F (θ, t)
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|
ψ(x, t)ds
donc formellement
f (x, t) =
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|
|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|
F (θ, t)δ Γ t = F (θ, t)δ Γ t
pour x = γ(θ, t) et si F représente une densité surfacique de force dans la
configuration déformée. De même d’après (3.5), M est une mesure définie par