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3 Interaction d’un fluide incompressible avec une membrane élastique
3.1 De la méthode de frontière immergée aux méthodes
Level Set
La méthode de frontière immergée (en abrégé, méthode IBM pour Immersed
Boundary Method) introduite par Peskin et ses co-auteurs [113, 114] permet
de ramener le problème du couplage d’un fluide incompressible avec des fibres
élastiques à un problème fluide avec second membre localisé sur la structure
qui agit comme un terme de force dans le fluide. La méthode utilise à la fois
des variables eulériennes et lagrangiennes. Les variables eulériennes décrivent
la vitesse et la pression du fluide et les variables lagrangiennes permettent de
localiser la ou les courbes ou surfaces immergées et à en mesurer l’étirement.
L’interaction entre les quantités eulériennes et lagrangiennes est réalisée grâce
à une mesure de Dirac discrète.
On reprend ici les notions et notations de paramétrages des surfaces lagrangiennes de la section 1.1.
On considère une surface élastique non fermée régulière Γ de R 3 dans une
configuration au repos, c’est à dire libre de tout effort mécanique, représentée
par un paramétrage régulier défini sur U =]0,M[ 2 , M > 0, notée γ : θ ∈ U →
γ(θ) ∈ R 3 .
La masse surfacique de la membrane dans cette configuration est notée
¯
m(θ).
Cette surface se déplace entre les instants t = 0 et t = T , et l’on note Γ t , sa
position au temps t. En particulier Γ 0 est sa position initiale. Notons que Γ 0
diffère de Γ si la surface n’est pas initialement au repos.
Notons θ → γ 0 (θ) et θ → λ 0 (θ) un paramétrage régulier et une masse
surfacique pour Γ 0 tels que m 0 |∂ θ 1 γ 0 × ∂ θ 2 γ 0 | = ¯
m|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|. Soit γ : θ →
γ(θ, t) le paramétrage régulier de Γ t transporté par le champ de vitesse du
milieu continu, c’est à dire γ(θ, t) = X(t, γ 0 (θ)) ou de manière équivalente la
solution du système différentiel :
∂ t γ(θ, t) = u(γ(θ, t),t), θ ∈ U, t ∈]0,T ]
γ(θ, 0) = γ 0 (θ),
θ∈ U.
(3.1)
La surface Γ t est immergée dans un fluide newtonien incompressible et homogène de densité ρ f et de viscosité ν. Avec les notations de [114] adaptées au
cas d’une membrane élastique, la méthode de frontière immergée peut être
résumée par l’encadré qui suit :
3 Interaction d’un fluide incompressible avec une membrane élastique
3.1 De la méthode de frontière immergée aux méthodes
Level Set
La méthode de frontière immergée (en abrégé, méthode IBM pour Immersed
Boundary Method) introduite par Peskin et ses co-auteurs [113, 114] permet
de ramener le problème du couplage d’un fluide incompressible avec des fibres
élastiques à un problème fluide avec second membre localisé sur la structure
qui agit comme un terme de force dans le fluide. La méthode utilise à la fois
des variables eulériennes et lagrangiennes. Les variables eulériennes décrivent
la vitesse et la pression du fluide et les variables lagrangiennes permettent de
localiser la ou les courbes ou surfaces immergées et à en mesurer l’étirement.
L’interaction entre les quantités eulériennes et lagrangiennes est réalisée grâce
à une mesure de Dirac discrète.
On reprend ici les notions et notations de paramétrages des surfaces lagrangiennes de la section 1.1.
On considère une surface élastique non fermée régulière Γ de R 3 dans une
configuration au repos, c’est à dire libre de tout effort mécanique, représentée
par un paramétrage régulier défini sur U =]0,M[ 2 , M > 0, notée γ : θ ∈ U →
γ(θ) ∈ R 3 .
La masse surfacique de la membrane dans cette configuration est notée
¯
m(θ).
Cette surface se déplace entre les instants t = 0 et t = T , et l’on note Γ t , sa
position au temps t. En particulier Γ 0 est sa position initiale. Notons que Γ 0
diffère de Γ si la surface n’est pas initialement au repos.
Notons θ → γ 0 (θ) et θ → λ 0 (θ) un paramétrage régulier et une masse
surfacique pour Γ 0 tels que m 0 |∂ θ 1 γ 0 × ∂ θ 2 γ 0 | = ¯
m|∂ θ 1 γ × ∂ θ 2 γ|. Soit γ : θ →
γ(θ, t) le paramétrage régulier de Γ t transporté par le champ de vitesse du
milieu continu, c’est à dire γ(θ, t) = X(t, γ 0 (θ)) ou de manière équivalente la
solution du système différentiel :
∂ t γ(θ, t) = u(γ(θ, t),t), θ ∈ U, t ∈]0,T ]
γ(θ, 0) = γ 0 (θ),
θ∈ U.
(3.1)
La surface Γ t est immergée dans un fluide newtonien incompressible et homogène de densité ρ f et de viscosité ν. Avec les notations de [114] adaptées au
cas d’une membrane élastique, la méthode de frontière immergée peut être
résumée par l’encadré qui suit :