Chapitre 3
Interaction d’un fluide incompressible
avec une membrane élastique
Dans ce chapitre nous considérons le cas d’un corps élastique mince, que
nous modélisons comme une surface en dimension 3 ou une courbe en dimension
2, en interaction avec un fluide dans lequel elle est immergée. Le corps élastique
délimite un fluide interne et un fluide externe qui peuvent avoir des propriétés
(notamment densité et viscosité) différentes.
Dans une première section nous rappelons le modèle de frontière immergée
de Peskin qui est une formulation hybride lagrangienne-eulérienne de cette
interaction. Puis nous en présentons dans la deuxième section une formulation
purement eulérienne, dans le cas d’une membrane dont la loi de comportement
ne prend en compte que le changement d’aire local de celle-ci. Dans ce premier
cas, les efforts élastiques sont directement encodés dans la fonction Level Set
qui capture la courbe ou la surface supportant la membrane.
En général, une membrane élastique répond aussi aux sollicitations dans le
plan tangent, qui, outre le changement d’aire, comprennent le cisaillement.
La prise en compte du cisaillement des membranes fait l’objet de la troisième
section de ce chapitre.
Cette partie modélisation se conclut sur une section consacrée au cas
des courbes immergées dans un espace de dimension 3, pour lesquelles nous
développons une théorie de l’élasticité eulérienne et une formulation Level
Set.
Le chapitre se termine par une application des schémas présentés au
chapitre 1 à ces problèmes de couplage fluide-membrane et à leur illustration
numérique.
Des codes de calcul écrits en langage haut niveau (FreeFEM++, Matlab/Octave) sont explicités. Ceux-ci peuvent ainsi servir de base à une séquence
pédagogique sous forme de travaux pratiques.
51
The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2021
G.-H. Cottet et al., Méthodes Level Set pour l’interaction fluide-structure,
Mathématiques et Applications 86, https://doi.org/10.1007/978-3-030-70075-1_3
Interaction d’un fluide incompressible
avec une membrane élastique
Dans ce chapitre nous considérons le cas d’un corps élastique mince, que
nous modélisons comme une surface en dimension 3 ou une courbe en dimension
2, en interaction avec un fluide dans lequel elle est immergée. Le corps élastique
délimite un fluide interne et un fluide externe qui peuvent avoir des propriétés
(notamment densité et viscosité) différentes.
Dans une première section nous rappelons le modèle de frontière immergée
de Peskin qui est une formulation hybride lagrangienne-eulérienne de cette
interaction. Puis nous en présentons dans la deuxième section une formulation
purement eulérienne, dans le cas d’une membrane dont la loi de comportement
ne prend en compte que le changement d’aire local de celle-ci. Dans ce premier
cas, les efforts élastiques sont directement encodés dans la fonction Level Set
qui capture la courbe ou la surface supportant la membrane.
En général, une membrane élastique répond aussi aux sollicitations dans le
plan tangent, qui, outre le changement d’aire, comprennent le cisaillement.
La prise en compte du cisaillement des membranes fait l’objet de la troisième
section de ce chapitre.
Cette partie modélisation se conclut sur une section consacrée au cas
des courbes immergées dans un espace de dimension 3, pour lesquelles nous
développons une théorie de l’élasticité eulérienne et une formulation Level
Set.
Le chapitre se termine par une application des schémas présentés au
chapitre 1 à ces problèmes de couplage fluide-membrane et à leur illustration
numérique.
Des codes de calcul écrits en langage haut niveau (FreeFEM++, Matlab/Octave) sont explicités. Ceux-ci peuvent ainsi servir de base à une séquence
pédagogique sous forme de travaux pratiques.
51
The Author(s), under exclusive license to Springer Nature Switzerland AG 2021
G.-H. Cottet et al., Méthodes Level Set pour l’interaction fluide-structure,
Mathématiques et Applications 86, https://doi.org/10.1007/978-3-030-70075-1_3