2.5 Conservation de la quantité de mouvement
49
ω t
f (x, t)dx =
ω 0
f (X(t, ξ),t)det(∇ ξ X(t, ξ))dξ
Pour la force surfacique on utilise le changement de variable pour les surfaces
(2.12)
∂ω t
σ(x, t)n(x, t) ds =
∂ω 0
σ(X(t, ξ),t) Cof(∇ ξ X(t, ξ))n 0 (ξ) ds 0
Introduisons le 1er tenseur de Piola Kirchoff T
T (t, ξ) = σ(X(t, ξ),t) Cof(∇ ξ X(t, ξ))
(2.27)
Remarquons que ce tenseur T n’est pas symétrique contrairement à σ qui
l’est. En utilisant le théorème de Stokes il vient
ω t
div x (σ(x, t))dx =
∂ω t
σ(x, t)n(x, t) ds
=
∂ω 0
T (t, ξ)n 0 (ξ) ds 0 =
ω 0
div ξ (T (t, ξ))dξ (2.28)
Pour le terme de quantité de mouvement on utilise (2.8) et (2.22)
ω t
ρ(x, t)u(x, t)dx =
ω 0
ρ(X(t, ξ),t)u(X(t, ξ),t)det(∇ ξ X(t, ξ))dξ
=
ω 0
ρ 0 (ξ)u(X(t, ξ),t)dξ
Avec (2.3), on obtient
d
dt
ω t
ρ(x, t)u(x, t)dx
=
ω 0
ρ 0 (ξ)∂
2
t X(t, ξ)dξ
On obtient finalement les équations lagrangiennes sur la configuration de
référence ω 0
ρ 0 (ξ)∂
2
t X(t, ξ) = div ξ (T (t, ξ)) + f (X(t, ξ),t)det(∇ ξ X(t, ξ))
(2.29)
Contrairement à la formulation eulérienne, la conservation de la masse
ne nécessite pas une équation supplémentaire, elle est directement prise en
compte avec la densité initiale. Cela est du au fait que les équations sont
posées sur la configuration de référence.
Pour fermer ces systèmes d’équations, nous avons besoin de donner des lois
de comportement qui permettent de relier σ aux inconnues du problème.