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2 Outils mathématiques pour la mécanique des milieux continus
2.5 Conservation de la quantité de mouvement
D’après le principe fondamental de la dynamique, la variation de la quantité
de mouvement d’un système est égale à la somme des forces extérieures
s’exerçant sur ce système.
2.5.1 Conservation de la quantité de mouvement en
eulérien
On applique ce principe à un volume ω t . Les forces extérieures sont volumiques notées f (x, t) (elles s’appliquent sur ω t ) ou surfaciques (elles s’appliquent sur ∂ω t ). Le principe de Cauchy montre que les forces surfaciques
s’écrivent σ(x, t)n(x, t). L’équilibre des moments permet de plus de montrer
que σ est symétrique.
d
dt
ω t
ρ(x, t)u(x, t)dx
=
∂ω t
σ(x, t)n(x, t) ds +
ω t
f (x, t)dx
(2.23)
La formule de Reynolds (2.15) avec f = ρu donne
d
dt
ω t
ρudx
=
ω t
∂ t (ρu) + div(ρu ⊗ u)dx
(2.24)
En utilisant le théorème de Stokes sur le terme surfacique on obtient les
équations eulériennes sur la configuration déformée ω t
∂ t (ρu) + div(ρu ⊗ u) = div(σ) + f.
(2.25)
En développant et en utilisant la conservation de la masse (2.20
(ρu) t + div(ρu ⊗ u) = ρ(∂ t u + (u · ∇)u) + u(∂ t ρ + div(ρu)) = ρ(∂ t u + (u · ∇)u).
Les équations de conservation de la quantité de mouvement se réécrivent
ρ(∂ t u + (u · ∇)u) = div(σ) + f
(2.26)
2.5.2 Conservation de la quantité de mouvement en
lagrangien
Pour passer à une représentation lagrangienne il suffit de réécrire les équations précédentes sur la configuration de référence. Pour la force volumique,
on utilise (2.8)