2.4 Conservation de la masse
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Il reste à effectuer le changement de variable (2.13) pour obtenir la formule
de Reynolds linéique (2.19).
Remarque 2.12. Dans le cas bidimensionnel on a τ ⊗ τ = I − n ⊗ n. Il y a donc
correspondance entre (2.19) et (2.16).
2.4 Conservation de la masse
Pour finir ce chapitre on rappelle dans cette section et la suivante quelques
principes de conservation de la mécanique ainsi que leur formulation eulérienne
et lagrangienne.
2.4.1 Conservation de la masse en eulérien
La conservation de la masse stipule que la variation de masse d’un volume
ω t est indépendante du temps :
d
dt
ω t
ρ(x, t)dx
= 0.
En utilisant la formule de Reynolds (2.15) avec f = ρ on obtient la conservation de la masse dans la configuration déformée
∂ t ρ + div(ρu) = 0.
(2.20)
2.4.2 Conservation de la masse en lagrangien
Il suffit de se ramener à la configuration de référence avec (2.8)
d
dt
ω 0
ρ(X(t, ξ),t)det(∇ ξ X(t, ξ))dξ
= 0.
(2.21)
que l’on peut écrire, puisque X(0,ξ) = ξ,
ρ(X(t, ξ),t)det(∇ ξ X(t, ξ)) = ρ 0 (ξ).
(2.22)