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2 Outils mathématiques pour la mécanique des milieux continus
d
dt
S t
f (x, t)ds
=
S 0
(∂ t f + u · ∇f + f div(u) − f ([∇u]n) · n)(X(t, ξ),t)
| Cof([∇ ξ X(t, ξ)) n 0 (ξ)| ds 0 .
En effectuant le changement de variable (2.12), on obtient la formule de
Reynolds surfacique (2.16).
On dispose d’un résultat analogue pour une courbe se déplaçant avec le milieu
continu :
Proposition 2.11. Soit Γ 0 une courbe régulière incluse dans Ω ⊂ R 3
et Γ t = X(t, Γ 0 ). Soit f ∈ C 1 (Ω × [0,T ]), alors
d
dt
Γ t
f (x, t) dl =
Γ t
∂ t f + u · ∇f + (∇u τ) · τ dl,
(2.19)
où τ est un champ de vecteurs unitaires tangent à Γ t .
Preuve. En utilisant la formule de changement de variable (2.13)
d
dt
Γ t
f (x, t) dl
=
Γ 0
∂ t (f (X(t, ξ),t))|[∇ ξ X(t, ξ)]τ 0 (ξ)|
+ f (X(t, ξ),t)∂ t (|[∇ ξ X(t, ξ)]τ 0 (ξ)|) dl 0 .
Pour le premier terme on utilise les calculs précédents, ce qui donne
∂ t (f (X(t, ξ),t)) = (∂ t f + u · ∇f )(X(t, ξ),t).
Pour le deuxième terme, en utilisant ∂ t [∇ ξ X] = [∇ x u][∇ ξ X], on obtient
∂ t (|[∇ ξ X(t, ξ)]τ 0 (ξ)|) = (∂ t ([∇ ξ X(t, ξ)])τ 0 (ξ)) ·
[∇ ξ X(t, ξ)]τ 0 (ξ)
|[∇ ξ X(t, ξ)]τ 0 (ξ)|
=
[∇ x u](X(t, ξ),t)
[∇ ξ X(t, ξ)]τ 0 (ξ)
|[∇ ξ X(t, ξ)]τ 0 (ξ)|
· [∇ ξ X(t, ξ)]τ 0 (ξ).
On déduit ensuite de (2.14)
∂ t (|[∇ ξ X(t, ξ)]τ 0 (ξ)|) = ([∇ x u]τ · τ )(X(t, ξ),t)|[∇ ξ X(t, ξ)]τ 0 (ξ)|.
En mettant bout à bout les résultats précédents, nous obtenons
d
dt
Γ t
f (x, t) dl
=
Γ 0
(∂ t f + u · ∇f + f ([∇u]τ ) · τ )(X(t, ξ),t)|[∇ ξ X(t, ξ)]τ 0 (ξ)| dl 0