2.3 Formules de Reynolds
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Proposition 2.10. Soit S 0 une hypersurface régulière incluse dans Ω
et S t = X(t, S 0 ). Soit f ∈ C 1 (Ω × [0,T ]), alors
d
dt
S t
f (x, t) ds =
S t
∂ t f + div(fu) − f (∇u n) · nds,
(2.16)
où n est un champ de vecteurs unitaires normal à S t .
Preuve. En effet en utilisant la formule de changement de variable (2.12),
d
dt
S t
f (x, t) ds
=
S 0
∂ t (f (X(t, ξ),t) det([∇ ξ X(t, ξ)]))|[∇ ξ X(t, ξ)]
−T n 0 (ξ)| ds 0
+
S 0
f (X(t, ξ),t) det([∇ ξ X(t, ξ)])∂ t (|[∇ ξ X(t, ξ)]
−T n 0 (ξ)|) ds 0 .
Pour le premier terme on utilise les calculs précédents
∂ t (f (X(t, ξ),t) det([∇ ξ X(t, ξ)]))
= (∂ t f + u · ∇f + f div(u))(X(t, ξ),t) det([∇ ξ X(t, ξ)]).
Nous avons, avec (A −1 ) (t) = −A −1 (t)A (t)A −1 (t) et ∂ t [∇ ξ X] = [∇u][∇ ξ X],
∂ t ([∇ ξ X(t, ξ)]
−T
) = −[∇ ξ X(t, ξ)]
−T ∂ t ([∇ ξ X(t, ξ)]
T
)[∇ ξ X(t, ξ)]
−T (2.17)
= [∇ x u]
T
(X(t, ξ),t)[∇ ξ X(t, ξ)]
−T .
(2.18)
Pour le deuxième terme, en utilisant (2.18), on écrit
∂ t (|[∇ ξ X(t, ξ)]
−T n 0 (ξ)|) =
(∂ t ([∇ ξ X(t, ξ)]
−T
)n 0 (ξ)) ·
[∇ ξ X(t, ξ)] −T n 0 (ξ)
|[∇ ξ X(t, ξ)] −T n 0 (ξ)|
= −
[∇ x u]
T
(X(t, ξ),t)
[∇ ξ X(t, ξ)] −T n 0 (ξ)
|[∇ ξ X(t, ξ)] −T n 0 (ξ)|
· [∇ ξ X(t, ξ)]
−T n 0 (ξ).
En utilisant (2.11), on obtient
∂ t (|[∇ ξ X(t, ξ)]
−T n 0 (ξ)|) = −(([∇ x u]n) · n)(X(t, ξ),t)|[∇ ξ X(t, ξ)]
−T n 0 (ξ)|.
En mettant bout à bout les résultats précédents nous obtenons