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2 Outils mathématiques pour la mécanique des milieux continus
Dans toute la suite, on considère un domaine volumique ω 0 qui évolue dans
le temps avec le champ de vitesses u(x, t) vérifiant (H) c’est à dire qu’on a
X(t, ω 0 ) = ω t . Pour obtenir les équations du milieu continu, on appliquera
les principes de mécanique à ce volume ω t . Les variations de quantités telles
que la masse, la quantité de mouvement ou l’énergie dans le volume ω t seront
donc effectuées à l’aide de dérivées temporelles.
2.3 Formules de Reynolds
Les formules de Reynolds que nous rappelons et démontrons ci-dessous sont
à la base de la transcription sous forme d’équations aux dérivées partielles
des principes de conservation de la mécanique des milieux continus qui seront
énoncés dans les sections suivantes.
Proposition 2.9. Soit un ouvert ω 0 ⊂ Ω, et soit ω t = X(t, ω 0 ). Soit
f ∈ C 1 (Ω × [0,T ]), alors
d
dt
ω t
f (x, t) dx =
ω t
∂ t f + div(fu) dx.
(2.15)
Preuve. En effet, d’après (2.8),
d
dt
ω t
f (x, t) dx =
d
dt
ω 0
f (X(t, ξ),t)J(t, ξ) dξ
=
ω 0
(∂ t X(t, ξ) · ∇f (X(t, ξ),t) + ∂ t f (X(t, ξ),t))J(t, ξ)
+ f (X(t, ξ),t)∂ t J(t, ξ) dξ.
D’après la proposition 2.2 nous avons donc
d
dt
ω t
f (x, t) dx =
ω 0
(u(X(t, ξ),t) · ∇f (X(t, ξ),t) + ∂ t f (X(t, ξ),t))J(t, ξ)
+ f (X(t, ξ),t)(div u)(X(t, ξ),t)J(t, ξ) dξ
=
ω 0
(∂ t f + div(fu))(X(t, ξ),t)J(t, ξ) dξ =
ω t
∂ t f + div(fu) dx.
On dispose d’un résultat analogue pour une surface se déplaçant avec le
milieu continu :